ВЕЛИЧИНА

ВЕЛИЧИНА - одно из основных математич. понятий, смысл к-рого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

I. Еще в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчетливо сформулированы свойства В., наз. теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие В. является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы и т. п. Каждый конкретный род В. связан с определенным способом сравнения физич. тел или др. объектов. Напр., в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объему.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных В. (т. е. в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объемов) устанавливается отношение неравенства: две В. а и b одного и того же рода или совпадают (а = b), или первая меньше второй (а < b), или вторая меньше первой (b < a). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объемов и то, каким образом устанавливается для каждого рода В. смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных В. отношение а < b и операция а + b = с обладают следующими свойствами:

1) каковы бы ни были а и b, имеет место одно и только одно из трех соотношений: или a = b, или а < b, или b < а;

2) если а < b и b < с, то а < с (транзитивность отношений «меньше», «больше»);

3) для любых двух В. а и b существует однозначно определенная В. с = а + b;

4) а + b = b + а (коммутативность сложения);

5) a + (b + с) = (a + b) + c (ассоциативность сложения);

6) a + > a (монотонность сложения);

7) если a > b, то существует одна и только одна В. с, для к-рой b + с = а (возможность вычитания);

8) каковы бы ни были В. а и натуральное число n, существует такая В. b, что nb = a (возможность деления);

9) каковы бы ни были В. а и b, существует такое натуральное число n, что a < nb. Это свойство наз. аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. В нем вместе с более элементарными свойствами 1)-8) основана теория измерения В., развитая древнегреческими математиками.

Если взять к.-л. длину l за единичную, то система s' всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет требованиям 1)-9). Существование несоизмеримых отрезков (открытие к-рых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система s' еще не охватывает системы s всех вообще длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию В., к требованиям 1)-9) надо присоединить еще ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, напр.:

10) если последовательности величин a₁ < a₂ < ... < ... < b₂ < b₁ обладают тем свойством, что b_n - а_n < с для любой В. с при достаточно большом номере n, то существует единственная В. х, к-рая больше всех а_n и меньше всех b_n.

Свойства 1)-10) и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных В. Если в такой системе выбрать к.-л. В. l за единицу измерения, то все остальные В. системы однозначно представляются в виде a = αl, где α - положительное действительное число.

II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления, и т. п. В. естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной В., к-рое является основным в механике и физике. Система скалярных В. в этом понимании включает в себя, кроме положительной, В., нуль и отрицательную В. Выбирая в такой системе к.-л. положительную величину l за единицу измерения, выражают все остальные В. системы в виде a = αl, где α - действительное число, положительное, отрицательное или равно нулю. Конечно, систему скалярных В. в этом понимании можно охарактеризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого пришлось бы несколько изменить требования 1)-10), к-рыми выше охарактеризовано понятие положительной скалярной В.

III. В более общем смысле слова величинами называются векторы, тензоры и др. «нескалярные величины». Такие В. можно складывать, но отношение неравенства (а < b) для них теряет смысл.

IV. В нек-рых более отвлеченных математич. исследованиях играют известную роль «неархимедовы» В., к-рые имеют с обычными скалярными В. то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9) не выполняется (для скалярных В. в смысле пункта II она сохраняется с оговоркой, что b > 0).

V. Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1)-10), а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных В., то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных В. Если какая-либо конкретная В., напр. длина l нагреваемого металлич. стержня, изменяется во времени, то меняется и измеряющее ее число х = l/l₀ (при постоянной единице измерения l₀). Само это меняющееся во времени число х принято называть переменной В. и говорить, что х принимает в какие-либо последовательные моменты времени t₁, t₂, ... «числовые значения» х₁, х₂, ... . В традиционной математич. терминологии говорить о «переменных числах» не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, объемы и т. п., являются частными случаями В. и, как всякие В., могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных векторов, тензоров и т. п.

А. Н. Колмогоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.