ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ - термин, под к-рым обычно понимается функция точки нек-рого пространства X, значениями к-рой являются векторы, в том или ином смысле определенные для этого пространства.

В классическом векторном исчислении роль X играет подмножество евклидова пространства, а В. п. представляет собой направленные отрезки, приложенные в точках этого подмножества. Напр., совокупность касательных или нормальных векторов к гладкой кривой (поверхности) - В. п. на ней.

Если X - абстрактно заданное дифференцируемое многообразие, то под В. п. понимается касательное В. п., т. е. функция, относящая каждой точке X инвариантно сконструированный касательный вектор к X. В случае конечномерности X В. п. равносильно определяется как совокупность одновалентных контра-вариантных тензоров, зависящих от точек.

В общем случае В. п. интерпретируется как определенная на X функция со значениями в векторном пространстве Р, тем или иным способом ассоциированного с X; ее отличие от произвольной вектор-функции состоит в том, что Р определяется по отношению к X «внутренним образом», а не «надстройкой» над X. Впрочем, напр., иногда и сечение векторного расслоения с базой X считается В. П.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.