ВЕЙЛЯ-ШАТЛЕ ГРУППА

ВЕЙЛЯ-ШАТЛЕ ГРУППА - группа главных однородных пространств над абелевым многообразием. То, что для любого абелева многообразия А над полем k множество WC(А, k) главных однородных пространств над А, определенных над k, обладает групповой структурой, было доказано А. Вейлем [1], а в одном частном случае - Ф. Шатле (F. Chatelet). Группа WC(A, k) изоморфна одномерной группе Галуа когомологий H¹(k, А). Группа WC(А, k) всегда периодична, кроме того, в случае k = ℚ в ней имеются элементы произвольного порядка (см. [4], [5]). Согласно теореме Ленга WC(A, k) = 0, если k - конечное поле. Для любого элемента D ∈ WC(А, k) определен показатель I = ind_k (D), равный наименьшей степени расширения К/k, для к-рого существует K-рациональная точка D. В случае, когда dim A = 1 и k - поле алгебраич. функций над алгебраически замкнутым полем констант или локальное поле, I совпадает с порядком D в группе WC(A, k) (см. [6], [10]). В общем случае эти числа различны, однако всегда ord (D) делит I (см. [7]). Для локальных полей к группа WC(A, k) вычисляется (см., напр., [6], [8], [9]).

Если k - глобальное поле, то основой для вычисления группы WC(А, k) являются гомоморфизмы редукции

φ_v : WC(A, k) → WC(A, k_v),

где v - произвольное нормирование поля k, a k_v -пополнение k относительно v. Ядро Ш(А) гомоморфизма

φ = ∑φ_v : WC(A, k) → ∑_v WC(A, k_v),

наз. группой Тейта-Шафаревича абелевого многообразия А, вычислено только в случае, когда k - поле алгебраич. функций от одного переменного над алгебраически замкнутым полем констант (см. [5], [8], [11]). В этом же случае описано и коядро φ (все с точностью до р-компоненты, где р - характеристика k). Результаты этих вычислений применяются в теории эллиптич. поверхностей. В случае, когда k - поле алгебраич. чисел, структура группы Ш(A) мало изучена.

Лит.: [1] Wеil А., «Аmеr. J. Math.», 1955, v. 77, № 3, p. 493-512; [2] Башмаков М. И., «Успехи матем. наук», 1972, т. 27, в. 6, с. 25-66; [3] Касселс Дж., «Математика», (Сб. переводов), 1968, т. 12, № 1, с. 113-60; № 2, с 3-49; [4] Шафаревич И. Р., «Докл. АН СССР», 1957, т. 114, № 2, с. 267-70; [5] его же, там же, 1957, № 4, с. 714-6; [6 ] его же, «Труды Матем. ин-та АН СССР», 1961, т. 64, с. 316-46; [7] Lang S., Tate J., «Аmеr. J. Math.», 1958, v. 80, № 3, p. 659-84; [8] Ogg A. P., «Ann. Math.», 1962, v. 76, № 2, p. 185-212; [9] Tate J., в кн.: Semin. Bourbaki, 2 ed., P., 1958, t. 10, exposes 156, p. 1-13; [10] Liсhtenbaum S., «Аmеr. J. Math.», 1968, v. 90, № 4, p. 1209-23; [11] Roynaud M., в кн.: Semin. Bourbaki, 2 ed., P., 1964/65, exposes 286.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.