ВЕЙЛЯ СВЯЗНОСТЬ

ВЕЙЛЯ СВЯЗНОСТЬ - аффинная связность без кручения на римановом пространстве M, обобщающая Леви-Чивита связность в том смысле, что ковариантный дифференциал метрич. тензора g_ij пространства М относительно нее необязательно равен нулю, но является пропорциональным самому тензору Если аффинная связность на М задана с помощью матрицы локальных форм связности

и ds² = g_ijωⁱω^j, то она является В. с. тогда и только тогда, когда

(2)

Другая, эквивалентная форма этого условия:

Z<X, Y> = <∇_ZX, Y> + <X, ∇_ZY> + θ(Z)<X, Y>,

где ∇_ZX - ковариантная производная X по Z - определяется формулой

Относительно локального поля ортонормированных реперов, где g_ij = b_ij, имеет место

то есть В. с. для нек-рой римановой метрики на М является каждая аффинная связность без кручения, голономии группа к-рой является группой подобий или нек-рой ее подгруппой.

Если в (1) ωⁱ = dxⁱ, то в случае В. с.

где θ = θ_kdx^k. Так как

то тензор

наз. (по Вейлю) тензором кривизны направлений, антисимметричен по обеим парам индексов:

F_ij,kl + F_ji,kl = 0.

В. с. введена Г. Вейлем [1].

Лит.: [1] Wеуl Н., «Math. Z.», 1918, Bd 2, S. 384-411; [2] Норден А. П., Пространства аффинной связности, М.-Л., 1950; [3] Folland G. В., «J. Different. Geom.», 1970, v. 4, p. 145-53.

Ю. Г. Лумисте.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.