ВЕЙЛЯ ГРУППА

ВЕЙЛЯ ГРУППА - 1) В. г. симметрий корневой системы. В зависимости от конкретной реализации корневой системы рассматривают и различные В. г.; так возникают В. г. полупростой расщепляемой алгебры Ли, В. г. симметрич. пространства, В. г. алгебраич. группы.

Пусть G - связная аффинная алгебраич. группа, определенная над алгебраически замкнутым полем k. В. г. группы G относительно тора T⊂G наз. факторгруппа

W(T, G) = N_G(T)/Z_G(T),

рассматриваемая как группа автоморфизмов тора Т, индуцированных сопряжениями Т с помощью N_G(T). Здесь N_G(T) - нормализатор, a Z_G(T) - централизатор подгруппы Т в G. Группа W(T, G) конечна. Если T₀ - максимальный тор, то W(T₀G) наз. группой Вейля W(G) алгебраической группы G. Это определение (с точностью до изоморфизма) не зависит от выбора максимального тора Т₀. Действие с помощью сопряжений группы N_G(T₀) на множестве В^T₀ Бореля подгрупп в G, содержащих T₀, индуцирует просто транзитивное действие W(T₀, G) на В^T₀. Действие Т на G сопряжениями индуцирует присоединенное действие Т на алгебре Ли группы G. Пусть Ф(T, G) - множество ненулевых весов весового разложения относительно этого действия, т.е. Ф(T, G) - корневая система относительно Т (см. Вес представления). Ф(Т, G) является подмножеством в группе X(Т) рациональных характеров тора Т, причем Ф (Т, G) инвариантно относительно действия W(T, G) на Х(Т).

Пусть G - редуктивная группа, Z(G)⁰ - связная компонента единицы ее центра и Т₀ - максимальный тор. Векторное пространство

X(T₀/Z(G)⁰)_ℚ = X(T₀/Z(G)⁰)⊗_ℤℚ

канонически отождествляется с подпространством в векторном пространстве

X(T₀)_ℚ = X(T₀)⊗_ℤℚ.

Множество Ф(T₀, G) (как подмножество в X(T₀)_ℚ) является приведенной системой корней в X(T₀/Z(G)⁰)_ℚ, причем естественное действие W(T₀, G) на X(T₀)_ℚ определяет изоморфизм W(T₀, G) с В. г. корневой системы Ф(T₀, G). Таким образом, W(T₀, G) обладает всеми свойствами В. г. приведенной корневой системы, напр. она порождается отражениями.

Как обобщение этой ситуации возникает В. г. системы Титса (ее точное определение см. Титса система).

Группа Вейля W конечномерной редуктивной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики определяется как В. г. ее присоединенной группы. Присоединенное действие W в подалгебре Картана ℬ алгебры является точным представлением W; группу W часто отождествляют с образом этого представления, рассматривая ее как соответствующую линейную группу в ℬ, порожденную отражениями. Понятие «В. г.» впервые появилось в работе Г. Вейля [1] для частного случая рассматриваемых здесь алгебр - для конечномерной полупростой алгебры Ли над полем комплексных чисел. В. г. может быть определена и для любой расщепляемой полупростой конечномерной алгебры Ли как В. г. ее корневой системы.

Для аффинной алгебраич. группы G, определенной над алгебраически незамкнутым полем, может быть определена относительная В. г. А именно, если Т - максимальный разложимый над к тор группы G, то факторгруппа N_G(T)/Z_G(T) (нормализатора тора Т по его централизатору в G), рассматриваемая как группа автоморфизмов Т, индуцированных сопряжениями Т с помощью элементов из N_G(T), наз. относительной группой Вейля группы G.

О В. г. симметрического пространства см. Симметрическое пространство. В. г. действительной связной некомпактной полупростой алгебраич. группы совпадает с В. г. соответствующего симметрического пространства. Об аффинной В. г. см. Корневая система.

Лит.: [1] Weyl Н., «Маth. Z.», 1925, Bd 23, S. 271-309; 1925, Bd 24, S. 328-95; [2] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [3] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [4] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1972; [5] Борель А., Тите Ж., «Математика», 1967, т. 11, № 1, с. 43-111, № 2, с. 3-31; [6] Брюа Ф., Титс Ж., «Математика», 1968, т. 12, № 5, с. 19-33; [7] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.

В. Л. Попов.

2) В. г. компактной связной группы Ли G - факторгруппа W = N/Т, где N - нормализатор в G нек-рого максимального тора Т группы G. В. г. изоморфна нек-рой конечной группе линейных преобразований алгебры Ли t группы Т (изоморфизм осуществляется с помощью присоединенного представления N в t) и может быть охарактеризована с помощью корневой системы Δ алгебры Ли g группы G (относительно t), а именно: если α₁, ..., α_r - система простых корней алгебры, являющихся линейными формами на действительном векторном пространстве t, то В. г. порождается отражениями в гиперплоскостях α_i(х) = 0. Таким образом, W является группой Вейля системы Δ (как линейная группа в t). W просто транзитивно действует на множестве всех камер системы Δ (называемых в данном случае камерами Вейля). Следует отметить, что N не является, вообще говоря, полупрямым произведением W и Т; все случаи, когда это так, изучены. В. г. группы G изоморфна В. г. соответствующей комплексной полупростой алгебраич. группы G_ℂ (см. Комплексификация группы Ли).

А. С. Феденко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.