ВЕЙЕРШТРАССА-ЭРДМАНА УГЛОВЫЕ УСЛОВИЯ

ВЕЙЕРШТРАССА-ЭРДМАНА УГЛОВЫЕ УСЛОВИЯ - дополнительные к Эйлера уравнению необходимые условия экстремума, задаваемые в точках, где экстремаль имеет излом. Пусть

J(х) = ∫L (t, х, ẋ) dt

- функционал классического вариационного исчисления, а экстремаль x₀(t) непрерывно дифференцируема в окрестности точки τ за исключением самой точки τ, где x₀(t) имеет разрыв. Тогда для того чтобы x₀(t) давала хотя бы слабый локальный экстремум функционалу J(х) необходимо, чтобы в угловой точке τ выполнялись равенства

р(τ - 0) = р(τ + 0), H(τ - 0) = H(τ + 0),

где

а

H(t) = (ẋ₀(t), p(t)) - L(t, x₀(t), ẋ₀(t)).

Эти равенства и наз. угловыми условиями Вейерштрасса-Эрдмана (К. Вейерштрасс, К. Weierstrass, 1865; Г. Эрдман, 1877, см. [1]).

В.-Э. у. у. означают непрерывность в угловой точке экстремали канонич. переменных и гамильтониана; в классич. механике они означают непрерывность в угловой точке импульсов и энергии.

В регулярных задачах, когда L - строго выпуклая по ẋ функция, экстремали не могут иметь угловых точек. Угловые точки появляются, когда L(t, х, ẋ), а следовательно, и Вейерштрасса -функция содержат отрезки по ẋ. В случае, когда рассматривается Лагранжа задача с ограничениями φ_i(t, х, ẋ) = 0 и Лагранжа множителями λ_i(t), L в В.-Э. у. у. заменяется на L̃ = L + ∑_iλ_iφ_i.

Лит.: [1] Еrdmann G., «J. für Math.», 1877, Bd 82, S. 21-30; [2] Воlzа О., Vorlesungen über Variationsrechnung, Lpz., 1949, S. 367; [3] Ахиезер H. И., Лекции пo вариационному исчислению, M., 1955, с. 17-18.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.