ВЕЙЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ВЕЙЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ - функции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с именами А. Лежандра (A. Legendre), Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi), в основу к-рого были положены эллиптич. функции 2-го порядка, имеющие в параллелограмме периодов два простых полюса, основная В. э. ф. имеет в параллелограмме периодов один полюс 2-го порядка. В теоретич. отношении теория Вейерштрасса более проста, так как исходная в этой теории функция ℘(z) и ее производная служат образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с заданными примитивными периодами.

Пэ-функция (℘-функция) Вейерштрасса ℘(z) (℘ - знак Вейерштрасса, стилизованная буква «пэ») для заданных примитивных периодов 2ω₁, 2ω₃, Im (ω₃/ω₁) > 0, определяется рядом

(1)

где 2Ω_m1,m3 = 2m₁ω₁ + 2m₃ω₃ и целые числа m₁, m₃ пробегают все значения, кроме пары m₁ - m₃ = 0. Функция ℘(z) есть четная эллиптич. функция порядка 2, имеющая в каждом параллелограмме периодов единственный полюс 2-го порядка с нулевым вычетом. Ее производная ℘'(z) есть нечетная эллиптич. функция порядка 3 с теми же примитивными периодами; ℘'(z) имеет простые нули в точках, конгруэнтных 2ω₁, 2ω₂ = 2ω₁ + 2ω₃, 2ω₃. Наиболее важное свойство функции ℘(z) состоит в том, что любая эллиптич. функция с данными примитивными периодами 2ω₁, 2ω₃ может быть представлена в виде рациональной функции от ℘(z) и ℘'(z), т. е. ℘(z) и ℘'(z) являются образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с данными периодами. Среди однопериодических тригонометрич. функций аналогом функции ℘(z) служит 1/sin²z.

Функция ℘(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(2)

в к-ром модулярные формы

наз. относительными инвариантами, а величины е₁ = ℘(2ω₁), е₂ = ℘(2ω₂), е₃ = ℘(2ω₃) -иррациональными инвариантами функции ℘(z). Абсолютным инвариантом функции ℘(z) наз. всякая рациональная функция от j = g³₂/g²₃ или от J = g³₂/Δ, где Δ = g³₂ - 27g²₃ есть дискриминант. Имеется в виду инвариантность относительно модулярных преобразований (см. Модулярная функция). В приложениях обычно g₂ и g₃ - действительные; если при этом Δ > 0, то е₁, е₂, е₃ - также все действительные. Уравнение (2) показывает, что ℘(z) может быть определена как обращение эллиптического интеграла I рода в нормальной форме Вейерштрасса:

Функция ℘(z) отображает взаимно однозначно и конформно параллелограмм периодов на канонически разрезанную двулистную компактную риманову поверхность F с точками ветвления е₁, е₂, е₃, ∞ рода 1; поверхность F иногда наз. эллиптическим образом. На главной накрывающей поверхности F указанный интеграл I рода однозначен и является униформизирующей переменной для F.

Эллиптич. интеграл II рода поля эллиптич. функций с данными периодами 2ω₁, 2ω₃ при этой униформизации переходит в дзета-функцию (ζ-функцию) Вейерштрасса ζ(z), определяемую рядом

(3)

Функция ζ(z) - нечетная мероморфная функция, связанная с ℘(z) соотношением ζ'(z) = -℘(z); она не является периодической и при добавлении периодов преобразуется по закону ζ(z ± 2ω_i) = ζ(z) ± 2η_i, где η_i = ζ(ω_i). При этом между ω₁, ω₃, η₁, η₃ имеет место соотношение Лежандра

равносильное соотношению между полными эллиптич. интегралами:

EK' + Е'K - KK' = π/2.

Произвольная эллиптич. функция f(z) с данными периодами 2ω₁, 2ω₃ выражается через ζ(z) по формуле Эрмита:

(4)

где С - постоянная, b₁, b₂, ..., b_s - полная система полюсов функции f(z), числа B^k₁, В^k₂, ..., B^k_νk - коэффициенты главной части разложения Лорана функции f(z) в окрестности полюса b_k. Разложение (4) есть аналог разложения произвольной рациональной функции на простейшие дроби. Среди тригонометрич. функций аналогом функции ζ(z) является ctg z.

Сигма-функция (σ-функция) Вейерштрасса σ(z) определяется как бесконечное произведение

Функция σ(z) есть нечетная целая функция с нулями 2Ω_{m1, m3}, связанная с функциями ℘(z) и ζ(z) соотношениями:

она не является двоякопериодической; имеют место тождества:

где

Произвольная эллиптич. функция f(z) с периодами 2ω₁; 2ω₃ выражается через σ(z) в виде:

где С - постоянная; а₁, а₂, ..., а_s, b₁, b₂, ..., b_s - нулевая полная система нулей и полюсов функции f(z). Среди тригонометрич. функций аналогом функции σ(z) является sin z.

В теории Вейерштрасса имеют также значение сигма-функции с индексами:

Функции σ(z), σ₁(z), σ₂(z), σ₃(z) выражаются через тета-функции ₀(v), ₁(v), ₂(v), ₃(v) (см. Якоби эллиптические функции), а функция ℘(z) просто выражается через σ(z), σ₁(z), σ₂(z), σ₃(z), что составляет вычислительный базис функций Вейерштрасса. Можно получить и непосредственное выражение В. э. ф. через эллиптич. функции Якоби, напр. в виде:

В прикладных вопросах обычно заданы относительные инварианты g₂, g₃. При этом для вычисления примитивных периодов 2ω₁, 2ω₃ используется абсолютный инвариант J = g³₂/Δ, к-рый является модулярной функцией от отношения периодов τ = ω₃/ω₁ (см. также Модулярная функция).

Лит.: [1] Wеiеrstrаss К., Mathematische Werke. Bd 1-2, В., 1894-95; [2] Schwarz Н. A., Formeln und Lehrsatze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen, 2 Aufl., В., 1893; [3] Гурвиц А., Курант P., Теория функций, M., 1968, ч. 2: [4] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963, гл. 20; [5] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.