ВЕЙЕРШТРАССА E-ФУНКЦИЯ

ВЕЙЕРШТРАССА -ФУНКЦИЯ в классическом вариационном исчислении - функция, выделяющая главную часть приращения функционала при варьировании экстремали при помощи локальной (игольчатой) вариации с заданным значением ее производной в фиксированной точке экстремали. Для функционала

 -функция имеет вид

 (t, х, ẋ, х') = L(t, х, x') - L(t, х, ẋ) - (х' - ẋ, L_ẋ(t, x, ẋ)). (1)

Если ввести функцию

П(t, х, р, х') = (р, x') - L(t, х, х')

(см. Лежандра преобразование, Понтрягина принцип максимума), то -функция принимает вид

 (t, х, ẋ, x') = П(t, х, р, ẋ) - П(t, х, р, х'),

где p = L_ẋ(t, х, ẋ). Общая конструкция, приводящая к функциям, аналогичным -функции (1), состоит в следующем. Пусть f(x) - дифференцируемая или выпуклая функция, заданная в банаховом пространстве X, и X* - сопряженное пространство. Если функция П : X* × X → R определяется равенством

П(x*, х') = 〈х*, x'〉 - f'(x'),

где х* - производная f'(х) функции f в точке х (или элемент субдифференциала, если f выпукла), то функция

 (х, х', х*) = П(х*, х) - П(х*, х')

есть -функция, построенная по f. В случае, если f дифференцируема,

 (x, x') = f(x') - f(x) - <x' - x, f'(x)>, (2)

т. е. -функция есть разность в точке х' между функцией f и линейной функцией, касательной к f в x. Сравнение формул (1) и (2) показывает, что -функция в классич. вариационном исчислении получается из конструкции (2) относительно переменных, связанных с производными, а переменные t, х играют роль параметров.

Для случая функционала

многомерной вариационной задачи -функция имеет вид

 (t, х, z, z') = L (t, х, z') - L(t, x, z) - (z' - z, L_z(t, x, z)).

Для Лагранжа задачи с ограничениями φ_i(t, х, ẋ) = 0 и множителями Лагранжа λ_i(t), i = 1, ..., s, -функция имеет вид (1), где L заменяется на

 -функция была впервые введена К. Вейерштрассом в 1879 (см. [1]) и лежит в основе теории вариационного исчисления. В терминах -функции формулируются необходимое и (отдельно) достаточное условия экстремума (см. Вейерштрасса условия), через -функции выражается в виде конечного интеграла приращение функционала J на экстремали (см. Вейерштрасса формула для приращения функционала).

Особенно важную роль в вариационном исчислении играют гладкие функционалы, у к-рых в нек-рой области параметров (⋅, ẋ, х') ≥ 0 для всех ẋ, х', или, сильнее, если (⋅, ẋ, х') > 0 для всех ẋ ≠ х'. Они наз. квазирегулярными (соответственно регулярными, или эллиптическими). Для них всегда выполнены Лежандра условие и необходимое Вейерштрасса условие, а также справедливы теоремы существования и регулярности [7].

Лит.: [1] Weierstrass К., Vorlesungen über Variationsrechnung (Math. Werke, Bd 7), Lpz., 1927; [2] Сaratheodory C., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, B.-Lpz., 1935; [3] Bolza O., Vorlesungen über Variationsrechnung, Lpz., 1949; [4] Ахиезер H. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955; [5] Понтрягин Л. С., [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [6] Hestenes М. R., Calculus of variations and optimal control theory, N. Y.-L., 1966; [7] Проблемы Гильберта, M., 1969; [8] Блисс Г., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.