ВЕЙЕРШТРАССА ФОРМУЛА

ВЕЙЕРШТРАССА ФОРМУЛА для приращения функционала - формула классич. вариационного исчисления, задающая значения функционала

в виде криволинейного интеграла от Вейерштрасса -функции. Пусть вектор-функция х₀(t) является экстремалью функционала J(х) и при этом она включена в поле экстремалей с вектор-функцией наклона поля U(t, х) и действием S (t, х), соответствующим этому полю (см. Гильберта инвариантный интеграл). Для любой кривой y = x(t), лежащей в области, покрытой полем, имеет место В. ф.:

J(x) = S(t₁, x(t₁)) -S(t₀, x(t₀)) + ∫_γ(t, x, U()t, x), ẋ) dt.

В частности, если граничные условия кривых γ = x(t) и γ₀ = x₀(t) совпадают, т. е. если x(t_i) = x₀(t_i), i = 0, 1, то получается В. ф. для приращения функционала:

(2)

Иногда формулы (1) и (2) наз. основной теоремой Вейерштрасса.

Лит.: [1] Саrathеоdоrу С., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, В.-Lpz., 1935; [2] Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, пер. с англ., М., 1974; [3] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.