ВЕЙЕРШТРАССА УСЛОВИЯ

ВЕЙЕРШТРАССА УСЛОВИЯ экстремума - необходимое и (отдельно) достаточное условия сильного экстремума в классическом вариационном исчислении. Предложены К. Вейерштрассом (К. Weierstrass, 1879).

Необходимое условие Вейерштрасса: для того чтобы функционал

достигал локального сильного минимума на экстремали x₀(t), необходимо, чтобы для всех t, t₀ ≤ t ≤ t₁, и всех ξ ∈ ℝ выполнялось неравенство

 (t, x₀(t), ẋ₀(t), ξ) ≥ 0,

где - Вейерштрасса -функция. Это условие может быть выражено через функцию

П(f, х, p, u) = (р, u) - L(t, х, u)

(см. Понтрягина принцип максимума). В. у. ( ≥ 0 на экстремали x₀(t)) эквивалентно тому, что функция

П(t, х₀(t), p₀(t), u), где р₀(t) = L_ẋ(t, х₀(t), ẋ₀(t)),

достигает максимума по u при u = ẋ₀(t). Тем самым необходимое В. у. оказывается частным случаем принципа максимума Понтрягина.

Достаточное условие Вейерштрасса: для того чтобы функционал

достигал локального сильного минимума на вектор-функции x₀(t) достаточно, чтобы в окрестности G кривой х₀(t) нашлась вектор-функция U (t, х) наклона поля (геодезич. наклона) (см. Гильберта инвариантный интеграл), для к-рой

ẋ₀(t) = U (t, х₀(t)).

и

 (t, x, U(t, x), ξ) ≥ 0

для всех (t, x) ∈ G и любого вектора ξ ∈ ℝⁿ.

Лит.: [1] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.-Л., 1950; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С., [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.