ВЕДДЕРБЕРНА-МАЛЬЦЕВА ТЕОРЕМА

ВЕДДЕРБЕРНА-МАЛЬЦЕВА ТЕОРЕМА: пусть А - конечномерная ассоциативная алгебра над полем F с радикалом N и пусть факторалгебра A/N - сепарабельная алгебра (для алгебр над полем характеристики 0 это всегда выполнено); тогда алгебра А разлагается (как линейное пространство) в прямую сумму радикала А и нек-рой полупростой подалгебры S

A = N ⊕ S,

причем, если имеется другое разложение A = N ⊕ S₁, где S₁ - полупростая подалгебра, то существует автоморфизм φ алгебры А, отображающий S на S₁ (автоморфизм φ является внутренним, т. е. существуют элементы а, а' ∈ А такие, что а ⋅ а' = а' ⋅ а = 0 и хφ = а ⋅ х ⋅ а' для всех х ∈ А, где х ⋅ у = х + у + ху). Существование указанного разложения получено Дж. Веддерберном [1], а единственность (с точностью до автоморфизма) полупростого слагаемого доказана A. И. Мальцевым [2]. Эта теорема вместе с теоремой Веддерберна (см. Ассоциативные кольца и алгебры) о строении полупростых алгебр составляет центральную часть классич. теории конечномерных алгебр.

Лит.: [1] Wedderburn J. Н. М., «Рrос. London Math. Soc.», ser. 2, 1908, v. 6, p. 77-118; [2] Мальцев А. И., «Докл. АН СССР», 1942, т. 36, № 1, с. 42-5; [3] Albert А. А., Structure of algebras, N. Y., 1939; [4] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969.

Л. А. Бокуть.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.