ВЕБЕРА УРАВНЕНИЕ

ВЕБЕРА УРАВНЕНИЕ - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

(*)

точка x = ∞ является для него сильно особой точкой. Уравнение этого вида впервые было рассмотрено Г. Вебером в теории потенциала в связи с параболич. цилиндром (см. [1]); оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в параболич. координатах. В. у. заменой у = х^-1/2w, z = x²/2 приводится к Уиттекера уравнению и представляет собой частный случай вырожденного гипергеометрического уравнения. Замена у = u ехр(-x²/4) приводит В. у. к виду

u'' - xu' + νu = 0.

Решения уравнения (*) наз. функциями параболического цилиндра, или функциями Вебера-Эрмита. В частности, если ν - целое неотрицательное число, то уравнению (*) удовлетворяет функция

у = ехр (-x²/4) H_ν(х),

где H_ν(х) - Эрмита многочлен (см. [2] - [4]).

Лит.: [1] Weber Н., «Mаth. Аnn.», 1869, Bd 1, S. 1-36; [2] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [4] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968.

Н. X. Розов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.