ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА, первая вариация,- обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления; используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в термин «В. ф.», начиная с работы Ж. Лагранжа [1] (1760). Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления вида:

(1)

Если заданную функцию x₀(t) заменить на x₀(t) + αh(t) и подставить в выражение для J(x), то при допущении о непрерывной дифференцнруемости интегран-та L имеет место следующее равенство:

J(x₀ + αh) = J(x₀) + αJ₁(x₀)(h) + r(α), (2)

где |r(α)| → 0 при α → 0. Функцию h(t) часто наз. вариацией функции x₀(t) и иногда обозначают через δx(t). Выражение J₁(x₀) (h), представляющее собой функционал относительно вариаций h, наз. первой вариацией функционала J(х) и обозначают через δJ(х₀, h). В применении к функционалу (1) выражение для первой вариации имеет вид:

(3)

где

Равенство нулю первой вариации для всех h является необходимым условием экстремума функционала J(x). Для функционала (1) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления (см. Дюбуа-Реймона лемма) следует уравнение Эйлера:

Путем, аналогичным (2), определяются и вариации более высоких порядков (см., напр., в ст. Вторая вариация функционала).

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано Р. Гато (В. Gateaux) в 1913 (см. Гато вариация). По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа. Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, В. ф. при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по h) выражения δJ(х₀, h) наз. обычно Гато производной. Термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем В. ф.; термин «В. ф.» сохранился лишь для функционалов классического вариационного исчисления (см. [3]).

Лит.: [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indefinies, Turin, 1762; [2] Gateaux R., «Bull. Soc. Math. France», 1919, т. 47, с. 70-96; [3] Лавpeнтьeв M. A., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.-Л., 1950.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.