ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНОЙ ФУНКЦИИ

ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНОЙ ФУНКЦИИ - понятие теории однолистных функций. Пусть в нек-рой области D плоскости комплексного переменного z заданы однолистная функция f(z) и зависящее от вещественного параметра λ, 0 ≤ λ ≤ Λ, Λ > 0, семейство F(z, λ) функций, однолистных в D при каждом фиксированном λ ∈ [0, Λ]. Считая, что P(z, 0) = f(z), образуем разность P(z, λ) - f(z) ≡ Ф(z, λ). Вариацией n-го порядка, или n-й вариацией, n = 1, 2, ..., функции f(z) (по семейству F(z, λ)) наз. коэффициент q_n(z) при λⁿ в разложении Ф (z, λ) по параметру при условии, что остаточный член

φ_n(z, λ) = Ф (z, λ) - q₁(z)λ - ... - q_n(z)λⁿ

имеет порядок малости более высокий, чем λⁿ, равномерно относительно z или в области D, или внутри D, или в замыкании D. Выбор одного из указанных дополнительных условий обычно предопределяется задачей, в исследовании к-рой используются вариационные методы, связанные с В. о. ф.

Впервые вычисления и применения вариаций 1-го порядка однолистных функций были проведены Ж. Адамаром [1], а позднее М. А. Лаврентьевым [2]. Получение вариаций в нек-ром классе однолистных функций нередко (из-за нелинейности семейств таких функций) представляет сложную самостоятельную задачу. Она решена для нек-рых классов функций в односвязных и многосвязных областях.

Лит.: [1] Hadamard J., Lecons sur le calcul des variations, t. 1, P., 1910; [2] Лаврентьев M. А., «Матем. сб.», 1938, т. 4(46), № 3, с. 391-458; [3] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., 1966; [4] Бабенко К. И., «Тр. матем. ин-та АН СССР», М., 1972, т. 101.

И. А. Александров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.