![]() |
ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВАВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА - число, характеризующее k-мерную протяженность множества в n-мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация V0(E) замкнутого ограниченного множества Е есть число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества (то есть В. м. порядка 1) V1(Е) есть интеграл ![]() от функции ![]() где интегрирование ведется по прямой Пα, проходящей через начало координат, α - угол наклона Пα к фиксированной оси и П⊥α,z - прямая, перпендикулярная к Пα и пересекающая ее в точке z. Нормирующая константа с выбирается так, чтобы вариация V1(Е) отрезка Е совпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, напр. спрямляемых кривых, В. м. равна длине кривой. Для замкнутой области Е со спрямляемой границей Г линейная В. м. V1(E) равна половине длины Г. Вторая В. м. (то есть В. м. порядка 2) есть двумерная мера множества Е и Vk(E) = 0 при k > 2. Для n-мерного евклидова пространства вариацией Vi(E) порядка i = 0, 1, ..., n ограниченного замкнутого множества Е наз. интеграл ![]() от нулевой вариации пересечения Е с (n-k)-мерной плоскостью β по пространству Ωnk всех (n-k)-мерных плоскостей из Rn, с Хаара мерой dμβ, нормированной так, чтобы единичный k-мерный куб Jk имел В. м. Vk(Jk) = 1 В. м. Vn(E) совпадает с n-мерной мерой Лебега множества Е. Для выпуклых тел В. м. при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского (см. [4]). Свойства В. м. 1) Для E⊂Rn⊂Rn' В. м. Vk(Е) не зависит от того, вычисляется она для E⊂Rn или для E⊂Rn'. 2) В. м. выражаются индуктивно по формуле ![]() где с (n, k, i) - нормирующая константа. 3) Условие Vi(E) = 0 влечет Vi+1(E)=0. 4) В. м. (в известном смысле) не зависят друг от друга, т. е. для любой последовательности чисел a0, ..., an, где а0 > 0 - целое, 0 < аi ≤ ∞, i = 1, ..., n-1; аn = 0, можно построить множество E⊂Rn, для к-рого Vi(E) = ai, i = 0, 1, ..., n. 5) Vi(E1∪E2) = Vi(E1) + Vi(E2), если Е1 и Е2 не пересекаются. В общем случае Vi(E1∪E2) ≤ Vi(E1) + Vi(E2). Для i = 0, 1, ..., n-1 В. м. Vi не монотонны, т. е. может оказаться, что Vi(E1) < Vi(Е2) для E1 ⊃ E2. 6) В. м. полунепрерывны, т. е. если последовательность замкнутых ограниченных множеств Еk сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству Е, то ![]() а если, к тому же, равномерно ограничены суммы V0(Ek) + ... + Vi-1(Ek), то ![]() 7) В. м. Vk(E) совпадаете k-мерной Хаусдорфа мерой множества Е, если Vk+1(Е) = 0, а V0(E) + ... + Vk(E) < ∞. Эти условия выполняются, напр., для дважды гладких многообразий. Понятие В. м. возникло в связи с исследованием решений системы Коши-Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. В. м. оказалась полезным аппаратом при решении нек-рых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных (см. [1]), а также в вопросах аппроксимации (см. [2]). Лит.: [1] Витушкин А. Г., О многомерных вариациях, М., 1955; [2] его же, Оценка сложности задачи табулирования, М., 1959; [3] его же, «Докл. АН СССР», 1966, т. 166, № 5, с. 1022-25; [4] Леонтович А. М., Мельников М. С. «Тр. Моск. матем. об-ва», 1965, т. 14, с. 306-37; [5] Иванов Л. Д., «Матем. сб.», 1967, т. 72(114), № 3, с. 445-70; [6] его же, там же, 1969, т. 78(120), № 1, с. 85-100. А. Г. Витушкин, Л. Д. Иванов. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |