ВАРИАЦИЯ

ВАРИАЦИЯ - термин, введенный в математику Ж. Лагранжем [1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод В.-метод исследования экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и назв. Вариационное исчисление).

Пусть X - нек-рое пространство, на к-ром задан функционал f(x), а V - пространство нек-рых параметров. Под вариацией аргумента х₀ ∈ Х, понимают обычно кривую x(t, v), α ≤ t ≤ β, α ≤ 0, β ≥ 0, v ∈ V в пространстве X, проходящую через x₀ в определенной близости от ограничений, причем х₀ соответствует значение f = 0. Когда v пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определенное семейство кривых, исходящих из точки х₀. В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяют вариации по направлениям, когда V= X и x(t, v) = x₀ + tv. В этом случае В. наз. вектор v. Однако в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяют и др. классы В., напр. ломаные В., игольчатые В., В., связанные со скользящими режимами (см. [2], [3]). Выбор пространства В. и построение самих В. - важнейший элемент при полунении необходимых условий экстремума. См. также Вариация функционала, Гато производная, Фреше производная, Функциональная производная.

Лит.: [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, Turin, 1762; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С., [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.