ВАРДА ТЕОРЕМА

ВАРДА ТЕОРЕМА о дифференцировании аддитивной функции сегмента: пусть F - аддитивная функция сегмента, а F̲(x)(F̄(x)) - нижняя (верхняя) грань пределов отношений F(G_n) к мере Лебега G_n, где {G_n} - регулярная последовательность сегментов, стягивающихся к точке х. Тогда равенство F̄(x) = F̲(x) выполняется почти везде (в смысле меры Лебега) на множестве {х : F̲(x) > -∞ или F̄(x) < ∞}. Регулярность последовательности сегментов G_n означает, что существует число α > 0 и последовательность шаров S'_n, S''_n таких, что для всех

diam S'_n > α diam S''_n

и

S'_n ⊂ G_n ⊂ S''_n,

Если в приведенной выше формулировке отбросить условие регулярности, то получится вторая В. т. Эти теоремы обобщают Данжуа теорему о производных числах функции одной переменной. В. т. установлены А. Вардом [1].

Лит.: [1] Wаrd A. J., «Fundam. math.», 1936, t. 28, p. 167-182; 1937, t. 28, p. 265-79.

Л. Д. Иванов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.