ВАЛЬДА ТОЖДЕСТВО

ВАЛЬДА ТОЖДЕСТВО - тождество в последовательном анализе, утверждающее, что математич. ожидание суммы S_τ = X₁ + ... + X_τ случайного числа τ независимых одинаково распределенных случайных величин X₁, X₂, ... равно произведению математич. ожиданий EX₁ и E_τ:

E(X₁ + ... + X_τ) = EX₁ ⋅ E_τ.

Для справедливости В. т. достаточно, чтобы существовали математич. ожидания E|X₁| и E_τ и чтобы случайная величина τ была марковским моментом (т. е. чтобы при каждом n = 1, 2, ... событие {τ = n} определялось по значениям случайных величин X₁, ..., X_n или, что то же, событие {τ = n} принадлежало σ-алгебре, порожденной случайными величинами X₁, ..., X_n). В. т. является частным случаем основной теоремы последовательного анализа, утверждающей, что

E [e^λs_τ(φ (λ))^-τ] = 1

для всех комплексных λ, для к-рых φ (λ) = Ee^λX₁ существует и |φ (λ)| ≥ 1. Установлено А. Вальдом (A. Wald, см. [1]).

Лит.: [1] Вальд А., Последовательный анализ, пер. с англ., М., 1960; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., М., т. 1, 1967, гл. 14.

А. Н. Ширяев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.