ВАЛЛЕ ПУССЕНА СУММА

ВАЛЛЕ ПУССЕНА СУММА - выражение

(*)

где S_k(f, x), k = 0, 1, ... - частные суммы Фурье ряда функции f(x) периода 2π. При р = 0 В. П. с. V_{n, 0}(f, х) совпадают с частными суммами Фурье, а при р = n -с Фейера суммами. Метод приближения периодич. функций полиномами вида (*) впервые рассмотрел Ш. Валле Пуссен (см. [1], [2]); он же установил неравенство

где E_m(f) - наилучшее равномерное приближение функции f(x) ∈ C_2π при помощи тригонометрич. полиномов порядка не выше m. Если р = [сn], 0 < с < 1, [а] - целая часть числа а, то полиномы V_{n, [cn]}(f, х) осуществляют приближение, имеющее порядок O(E_[(1-c)n](f)). К непрерывным функциям периода 2π, для к-рых при некоторых θ, 0 ≤ θ < 1, имеет место оценка E_[θn](f)=O(E_n(f)), полиномы V_{n, [cn]}(f, х) дают наилучшее по порядку приближение. В. П. с. обладают рядом свойств, представляющих интерес для теории суммирования рядов Фурье. Напр., если р = [сn], 0 < с < 1, то |V_{n, p}(f, x)| ≤ K(c) max |f(x)|, а если f(x) - тригонометрич. полином порядка не выше n - р, то V_{n, p}(f, x) = f(x). В. П. с. можно записать в виде

где выражения

наз. ядрами Валле Пуссена.

Лит.: [1] Lа Vаlléе Poussin Сh. J., «С. r. Acad. sci.», 1918, t. 166, p. 799-802; [2] eго же, Lecons sur l'approximation des fonctions d'une variable réele, P., 1919; [3] Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.-Л., 1949, с. 211-13; [4] Коровкин П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959, с. 150-59: [5] Никольский С. М., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1940, т. 4, № 6, с. 509-20; [6] Стечкин С. Б., «Докл. АН СССР», 1951, т. 80, № 4, с. 545-48; [7] Щербина А. Д., «Матем. сб.», 1950, т. 27, в. 2, с. 157-70; [8] Тиман А. Ф., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1953, 17, № 1, с. 99-134; [9] его же, Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [10] Ефимов А. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.,», 1959, 23, № 5, с. 737-70; [11] его же, там же, 1960 24 № 3, с. 431-68; [12] Теляковский С. А., «Докл АН СССР», 1958, т. 121, № 3, с. 426-29; [13] его же, там же, 1960, т. 131, № 2, с. 259-62.

А. В. Ефимов

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.