ВАЛЛЕ ПУССЕНА ПРОИЗВОДНАЯ

ВАЛЛЕ ПУССЕНА ПРОИЗВОДНАЯ, обобщенная симметрическая производная; определена Ш. Валле Пуссеном [1]. Пусть r - четное и пусть существует δ > 0 такое, что для всех t с |t| < δ

(*)

где β₀, ..., β_r - постоянные, ε (t) → 0 при t → 0 и ε (0) = 0. Тогда число β_r = f_(r) (х₀) наз. производной Валле Пуссена порядка r, иначе - симметрической производной порядка r функции f в точке х₀.

Аналогично определяется В. П. п. нечетного порядка r с заменой равенства (*) на

В. П. п. f₍₂₎(x₀) совпадает со второй производной Римана, к-рую часто наз. производной Шварца. Если существует f_(r)(x₀), то существует и f_(r-2)(x₀), r ≥ 2; при этом f(_(r-1))(x₀) может не существовать. Если существует конечная обычная двусторонняя производная f^(r)(x₀), то f_(r)(x₀) = f^(r)(x₀). Для Функции f(x) = sgn х, напр., f_(2k)(0) = 0, k = 1, 2, и не существуют конечные f_(2k+1)(0), k = 0, 1, ... Если существует В. П. п. f_(r)(x₀), то ряд S^(r)(f), полученный из ряда Фурье функции f почленным дифференцированием r раз, суммируем в точке x₀ к f_(r)(x₀) методом (С, α) при α > r [2] (см. Чезаро методы суммирования).

Лит. : [1] La Vallée Poussin Ch. J., «Bull. Acad. de Belgique», 1908, t. 3, p. 193-254; [2] Зигмунд A., Тригонометрические ряды, пер. с англ., М., 1965, гл. 11.

А. А. Конюшков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.