БЭРА ТЕОРЕМА

Расстановка ударений: БЭ`РА ТЕОРЕ`МА

БЭРА ТЕОРЕМА - 1) Б. т. о полных пространствах: любая счетная система открытых и всюду плотных в данном полном метрическом пространстве множеств имеет непустое, и даже всюду плотное в этом пространстве пересечение. Эквивалентная формулировка: полное метрич. пространство не может быть представлено в виде счетной суммы своих нигде не плотных подмножеств. Установлена Р. Бэром [1].

Лит. : [1] Вairе R., «Аnn. di mat. », 1899, (3), t. 3, p. 67.

П. С. Александров.

2) Б. т. о полунепрерывных функциях: пусть А - подмножество метрич. пространства М и f: M → ℝ ; тогда условие: для любого числа а множество Е {х, х ∈ А, f (х) ≥ а } (соответственно Е{х, х ∈ А, f (х) ≤ а }) замкнуто в А, - необходимо и достаточно для того, чтобы f(x) была полунепрерывна сверху (соответственно снизу) на А. Доказана Р. Бэром для f: ℝ → ℝ (см. [1]). Из Б. т. следует, что полунепрерывные

функции входят в первый Бэра класс. Имеет место более сильное утверждение: полунепрерывная сверху (снизу) функция, не принимающая значение + ∞ (- ∞), есть предел монотонно невозрастающей (неубывающей) последовательности непрерывных функций.

Лит. : [1] Бэр Р., Теория разрывных функций, пер. с франц., М. - Л., 1932; [2] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957.

И. А. Виноградова.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.