БЭРА КЛАССЫ

Расстановка ударений: БЭ`РА КЛА`ССЫ

БЭРА КЛАССЫ - семейства действительных функций, определяемые индуктивно по порядковому числу знаков предела, входящих в определение функции, и составляющие классификацию функций, предложенную Р. Бэром (R. Baire, 1899; см. [1]) и называемую классификацией Бэра. Нулевым классом Бэра Н₀ наз. множество всех непрерывных функций f : A → ℝ, где А - метрич. пространство. Первый класс Бэра H₁ есть множество разрывных функций f : A → ℝ, являющихся пределом сходящейся в каждой точке последовательности непрерывных функций. Класс Бэра Н_α, где α - трансфинитное число первого или второго класса, определяется как множество функций f : A → ∨, не входящих ни в один из предшествующих классов, но представимых в виде f = lim_{n → ∞} f_n, где f_n ∈ H_βn, β_n < α. Объединение Б. к. Н_α по всем трансфинитам первого и второго классов составляет множество функций Бэра (или бэровских функций). Это есть минимальный, замкнутый в смысле поточечной сходимости, класс функций f : A → ℝ, содержащий все непрерывные функции. Линейная комбинация, произведение и частное (если знаменатель не обращается в нуль) функции Б. к. не выше а является функцией Б. к. не выше α. Равномерно сходящаяся последовательность функций Б. к. не выше α имеет пределом функцию Б. к. не выше α. Установлены [4] необходимые и достаточные условия для того, чтобы последовательность функций Б. к. не выше α сходилась к функции Б. к. не выше α. Открытым ядром множества А топологического пространства наз. объединение всех открытых множеств М ⊂ А. Если А - полное пространство с непустым плотным в себе ядром, то ни один Б. к. не пуст (см. [2]). Множество функций Бэра совпадает с множеством функций, измеримых по Борелю (см. Бореля мера); поэтому все они измеримы по Лебегу (см. Лебега мера). Функция g : A → ℝ, измеримая по Лебегу, эквивалентна нек-рой функции Бэра не выше второго Б. к. (см. [3]). Р. Бэр, рассматривая функции, определенные в ℝⁿ (в основном в ℝ), наиболее подробно исследовал функции первого класса. Он показал, что для принадлежности разрывной функции первому классу необходимо и достаточно существование точки непрерывности индуцированной функции на каждом совершенном множестве (теорема Бэра). Это утверждение переносится на функции f : A → ℝ, если А обладает Бэра свойством (см. [2]). Понятие функций Бэра естественным образом обобщается на функции φ : A → Y, где Y - произвольное метрич. пространство.

Лит. : [1] Бэр Р., Теория разрывных функций, пер. о франц., М. - Л., 1932; [2] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. - Л., 1937; [3] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [4] Гагаев Б. М., «Fundam. math. », 1932, t. 18, p. 182-88.

И. А. Виноградова.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.