БРЮА РАЗЛОЖЕНИЕ

Расстановка ударений: БРЮА` РАЗЛОЖЕ`НИЕ

БРЮА РАЗЛОЖЕНИЕ - представление связной алгебраич. редуктивной группы G в виде объединения двойных классов смежности по Бореля подгруппе, параметризуемых Вейля группой группы G. Точнее, пусть В, В¯ - противоположные подгруппы Бореля редуктивной группы G, U, U¯ - соответственно унипотентные части В, В¯ (см. Линейная алгебраическая группа), W - группа Вейля группы G. Через w ниже обозначается как элемент группы W, так и его представитель в нормализаторе тора В ∩ В¯, поскольку приводимая конструкция не зависит от выбора представителя. Для каждого w ∈ W рассматривается группа U¯_w = U ∩_w U¯ w^{- 1} . Тогда группа G представима в виде объединения непересекающихся двойных смежных классов BwB (w ∈ W), причем морфизм U¯_w × B → B_w B ((х, у) → xwy) является изоморфизмом алгебраич. многообразий. Дальнейшее уточнение Б. р. позволяет получить клеточное разбиение проективного многообразия G/B, а именно: если х₀ - неподвижная относительно левых сдвигов на элементы из В точка многообразия G/B (такая точка всегда существует, см. Бореля теорема о неподвижной точке), то G/B является объединением непересекающихся U - орбит вида U(w(x₀)), w ∈ W (см. Алгебраическая группа преобразований), причем морфизм U¯_w → U_w(x0) (u → u(w(x₀)) есть изоморфизм алгебраич. многообразий. Каждая из групп U¯_w, как многообразие, изоморфна аффинному пространству; в случае, когда основное поле есть поле комплексных чисел, каждая из указанных U - орбит является клеткой в смысле алгебраич. топологии и это позволяет вычислить гомологии G/B. Существование Б. р. для ряда классич. групп было установлено Ф. Брюа (F. Bruhat, 1956), в общем случае это доказал К. Шевалле [3]. А. Борель (A. Borel) и Ж. Тите (J. Tits) обобщили конструкцию Б. р. на группы G_k k - точек k - определенной алгебраич. группы [2]. При этом роль борелевских подгрупп играют минимальные параболич. k - подгруппы, роль групп U - их унипотентные радикалы, а вместо W рассматривается относительная, или k - группа Вейля W_k .

Лит. : [1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Борель А., Титс Ж., «Математика», 1967, т. И, № 1, с. 43-111; [3] Сhеvаllеу С., Classification des groupes de Lie algébriques, v. 2, P., 1958.

В. П. Платонов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.