БОЧЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Расстановка ударений: БО`ЧЕЧНОЕ ПРОСТРА`НСТВО

БОЧЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО - локально выпуклое линейное топологич. пространство, обладающее рядом свойств банаховых пространств и Фреше пространств без предположения о метризуемости; это один из наиболее широких классов пространств, в к-рых справедлива Банаха-Штейнхауза теорема. Б. п. были впервые введены Н. Бурбаки (см. [1]).

Множество А векторного пространства Е наз. уравновешенным множеством, если α х ∈ А для всех х ∈ А и α, для к-рого |α | ≤ 1. Множество A ⊂ E наз. поглощающим множеством, если оно поглощает каждую точку из Е, т. е. если для каждого х ∈ Е существует такое α > 0, что α х ∈ А.

Бочкой в линейном топологич. пространстве наз. замкнутое, уравновешенное поглощающее выпуклое множество. Бочечным пространством наз. линейное топологич. пространство, наделенное локально выпуклой топологией, в к-рой всякая бочка является окрестностью нуля. Пространства Фреше и, в частности, банаховы пространства служат примерами Б. п. Важный класс Б. п., наделенных особенно замечательными свойствами, составляют Монтеля пространства.

Свойства Б. п. Фактор пространство, прямая сумма и индуктивный предел Б. п. являются Б. п. Всякое поточечно ограниченное множество линейных непрерывных изображений Б. п. в локально выпуклое линейное топологич. пространство равностепенно непрерывно. В пространстве, сопряженном к Б. п., ограниченное множество в слабой топологии будет ограниченным в сильной топологии и компактным в слабой топологии. Замкнутая выпуклая оболочка компактного множества, лежащего в пространстве, сопряженном к Б. п., компактна.

Лит. : [1] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Эдварде Р., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.