БОРСУКА ПРОБЛЕМА

Расстановка ударений: БО`РСУКА ПРОБЛЕ`МА

БОРСУКА ПРОБЛЕМА - одна из основных задач комбинаторной геометрии: существует ли для каждого ограниченного множества разбиение диаметра d > 0 евклидова n-мерного пространства на не более чем n + 1 подмножеств, диаметр каждого из к-рых меньше d? Б. п. была сформулирована К. Борсуком [1] в связи с невозможностью разбиения n-мерного симплекса и n-мерного шара из Rⁿ на n частей меньшего диаметра. Б. п. положительно решается для случаев n = 2, n = 3; для случаев n > 3 имеются частичные результаты. Напр., Б. п. положительно решается для каждого ограниченного гладкого выпуклого тела из Rⁿ [2]. Доказано, что решение Б. п. сводится к случаю тел постоянной ширины. Если a(F) - наименьшее число частей диаметра, меньшего d, на к-рое разбивается множество F ⊂ Rⁿ, то для фигуры F ⊂ Rⁿ диаметра d равенство a(F) = 3 верно в том и только том случае, когда в R² существует единственная фигура постоянной ширины d, содержащая F (см. [3]). Для n > 2 этот факт непосредственно не обобщается. Б. п. тесно примыкает к освещения задачам и к Хадвигера гипотезе, представляющей обобщение Б. п. на случай, когда Rⁿ заменяется конечномерным нормированным пространством.

Лит. : [1] Borsuk К., «Fundam. math. », 1933, t. 20, p. 177-90; [2] Гpюнбаум В., Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; [3] Болтянский В. Г., «Colloq. math. », 1970, v. 21, № 2, 253-63.

П. С. Солтан.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.