БОРЕЛЯ ТЕОРЕМА

Расстановка ударений: БОРЕ`ЛЯ ТЕОРЕ`МА

БОРЕЛЯ ТЕОРЕМА о неподвижной точке: связная разрешимая алгебраич. группа G, действующая регулярно (см. Алгебраическая группа преобразований) на непустом полном алгебраич. многообразии V над алгебраически замкнутым полем к имеет в V неподвижную точку. Из Б. т. следует сопряженность Бореля подгрупп алгебраич. групп (теорема Бореля-Морозова). Б. т. доказана А. Борелем [1]. Б. т. обобщается на случай произвольного (не обязательно алгебраически замкнутого) поля k: пусть V - полное многообразие, определенное над полем k, на к-ром k-регулярно действует связная разрешимая k-разложимая группа G, тогда множество рациональных k-точек V(k) либо пусто, либо содержит точку, неподвижную относительно группы G. Отсюда получается обобщение теоремы о сопряженности подгрупп Бореля: если поле k совершенно, то максимальные связные разрешимые k-разложимые подгруппы связной k-определенной алгебраич. группы H сопряжены друг с другом при помощи элементов группы k-точек группы H (см. [2]).

Лит. : [1] Вorеl А., «Аnn. Math. », 1956, v. 64, № 1, p. 20-82; [2] Бopель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [3] Морозов В. В., «Докл. АН СССР», 1942, т. 36, № 3, с. 91-4.

В. П. Платонов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.