БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО

Расстановка ударений: БОРЕ`ЛЕВСКОЕ МНО`ЖЕСТВО

БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО, B-множество, - множество, к-рое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологич. пространства. Более точно, борелевским множеством наз. элемент наименьшего замкнутого относительно дополнений счетно аддитивного класса множеств, содержащего замкнутые множества. Другие названия Б. м. : множества, измеримые по Борелю, B-измеримые множества. Открытые и замкнутые множества наз. Б. м. нулевого порядка. Б. м. первого порядка наз. множества типа F_σ и G_δ, являющиеся, соответственно, счетными суммами замкнутых и счетными пересечениями открытых множеств. Б. м. второго порядка наз. множества типа F_{σ δ} (пересечение счетного числа множеств типа F_σ) и множества типа G_{δ σ} (сумма счетного числа множеств типа G_δ). Так, по индукции, определяются Б. м. любого конечного порядка. Эта классификация может быть продолжена при помощи трансфинитных чисел второго класса, и ею исчерпываются все Б. м. Если α - какое-нибудь трансфинитное число второго класса, то Б. и. класса α наз. все Б. м. порядка α, не являющиеся Б. м. порядка α ' ни при каком α ' < α. Непустота классов Б. м. зависит от основного пространства, в к-ром ведется рассмотрение. В евклидовом, гильбертовом и бэровском пространствах существуют Б. м. любого класса.

Б. м. представляет собой частный случай А-множеств. Для того чтобы A-множество Е было Б. м., необходимо и достаточно, чтобы дополнение к Е также было A-множеством (М. Я. Суслин). В пространствах, где введена Лебега мера, всякое Б. м. является измеримым по Лебегу. Обратное неверно. В любом сепарабельном пространстве мощности континуум существуют множества, не являющиеся Б. м.

Б. м. введены Э. Борелем [1]; они играют важную роль при изучении борелевских функций.

В более общем понимании Б. м.-множество любой борелевской системы множеств, порожденной нек-рой системой множеств. Б. м. топологич. пространства порождаются системой замкнутых подмножеств этого пространства.

Лит. : [1] Воrеl Е., Lecons sur les fonctions discontinues, P., 1898; [2] Куpатовский К., Топология, т. 1, М., 1966; [3] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. - Л., 1937; [4] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948.

В. А. Скворцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.