НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

БОРЕЛЕВСКАЯ ФУНКЦИЯ

Расстановка ударений: БОРЕ`ЛЕВСКАЯ ФУ`НКЦИЯ

БОРЕЛЕВСКАЯ ФУНКЦИЯ, B-функция, - функция, для к-рой все подмножества вида Е(х; f(x) ≥ а) из области ее определения являются борелевскими множествами. Другие назв. Б. ф. : функции, измеримые по Борелю, B-измеримые функции. Операции сложения, умножения и предельного перехода, как и в общем случае измеримых функций, не выводят из класса Б. ф., но из класса Б. ф., в отличие от общего случая, не выводит и взятие суперпозиции двух Б. ф. Более того (см. [1]), если f(x) - измеримая функция на любом пространстве Ω, a g есть Б. ф. на пространстве действительных чисел, то функция h (x) = g[f(x)] измерима на пространстве Ω. Всякая Б. ф. измерима по Лебегу (см. Измеримая функция). Обратное неверно. Однако для любой измеримой по Лебегу функции f найдется такая Б. ф. g, что f(x) = g(x) почти всюду (см. [1]). Б. ф. наз. также иногда бэровскими функциями, ибо множество всех Б. ф. совпадает с множеством функций, принадлежащих Бэра классам (теорема Лебега, см. [2]). Б. ф. могут быть классифицированы по порядкам борелевских множеств Е(х; f(x) ≥ a); полученные классы будут соответствовать классам Бэра.

Понятие Б. ф. обобщается на функции со значениями в любом метрич. пространстве (см. [3]). В этом случае говорят также о B-измеримых отображениях. Б. ф., помимо теории множеств и теории функций, находят применение в теории вероятностей (см. [1], [4]).

Лит. : [1] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. - Л., 1937; [3] Куратовский К., Топология, т. 1, М., 1966; [4] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974.

В. А. Скворцов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru