БОРА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Расстановка ударений: БО`РА ПОЧТИ` ПЕРИОДИ`ЧЕСКИЕ ФУ`НКЦИИ

БОРА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, равномерные почти периодические функции, - класс (U-п. п.) почти периодических функций. Первое определение, данное X. Бором [1], основано на обобщении понятия периода: функция f(x), непрерывная в интервале (- ∞, ∞), наз. Б. п. п. ф., если для любого ε > 0 существует относительно плотное множество ε - почти периодов этой функции (см. Почти период). Иначе: f(x) ∈ U-п. п., если для каждого ε > 0 существует L = L(ε) такое, что в каждом интервале длины L найдется хотя бы одно число τ, для к-рого

|f(x + τ) - f(x)| < ε, - ∞ < x < ∞.

В случае ограниченности L(ε), &$949; → 0, Б. п. п. ф. f (х) оказывается непрерывной периодич. функцией. В теории почти периодич. функций применяется также определение Бохнера (см. Бохнера почти периодические функции), эквивалентное определению Бора. Функции класса U-п. п. ограничены, равномерно непрерывны на всей действительной оси. Предел f(x) равномерно сходящейся последовательности Б. п. п. ф. {f_n (х)} принадлежит классу U-п. п. ; этот класс инвариантен по отношению к арифметич. операциям (частное Б. п. п. ф. f(x)/g(x) ∈ U-п. п. при условии inf_{- ∞ < x < ∞} |g (х)| > γ > 0). Если f(x) ∈ U-п. п. и f'(х) равномерно непрерывна на (- ∞, ∞), то f' (х) ∈ U-n. п. ; неопределенный интеграл если F(х) ограниченная функция.

Лит. : [1] Bohr Н., «Acta math. », 1925, t. 45, p. 29-127; [2] Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953.

Е. А. Бредихина.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.