БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН

Расстановка ударений: БОЛЬШИ`Х ЧИ`СЕЛ ЗАКО`Н

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН - общий принцип, в силу к-рого совместное действие случайных факторов приводит при нек-рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (подмеченное сначала, по-видимому, на азартных играх) может служить первым примером действия этого принципа.

На рубеже 17 и 18 вв. Я. Бернулли [1] доказал теорему, утверждающую, что в последовательности независимых испытаний, в каждом из к-рых вероятность наступления нек-рого события А имеет одно и то же значение р, 0 < р < 1, верно соотношение:

(1)

при любом ε > 0 и n → ∞ ; здесь μ_n - число появлений события в первых n испытаниях, μ_n /n - частота появлений. Эта Бернулли теорема была распространена С. Пуассоном [2] на случай последовательности независимых испытаний, где вероятность появления события А может зависеть от номера испытания. Пусть эта вероятность для k-го испытания равна р_k, k = 1, 2, 3, ..., и пусть

Тогда Пуассона теорема утверждает, что

(2)

при любом ε > 0 и n → ∞. Первое строгое доказательство этой теоремы было дано П. Л. Чебышевым (1846), метод к-рого полностью отличен от метода Пуассона и основан на нек-рых экстремальных соображениях; С. Пуассон выводил (2) из приближенной формулы для указанной вероятности, основанной на использовании закона Гаусса и в то время еще строго не обоснованной. У С. Пуассона впервые встречается и термин «закон больших чисел», к-рым он назвал свое обобщение теоремы Бернулли.

Естественное дальнейшее обобщение теорем Бернулли и Пуассона возникает, если заметить, что случайные величины μ_n можно представить в виде суммы

μ_n = Х₁ + X₂ + ... + Х_n

независимых случайных величин, где Х_k = 1, если А появляется в k-м испытании, и Х_k = 0 - в противном случае. При этом математич. ожидание Е(μ_n /n) (совпадающее со средним арифметическим математич. ожиданий EX_k) равно р для случая Бернулли и р¯ для случая Пуассона. Другими словами, в обоих случаях рассматривается отклонение среднего арифметического величин от среднего арифметического их математич. ожиданий.

В работе П. Л. Чебышева «О средних величинах» (1867) было установлено, что для независимых случайных величин X₁, ..., Х_n,... соотношение

(3)

(при любом ε > 0 и n → ∞) верно при весьма общих предположениях. П. Л. Чебышев предполагал, что математич. ожидания ЕХ²_k все ограничены одной и той же постоянной, хотя из его доказательства видно, что достаточно требования ограниченности дисперсий X_k, DX_k = EX²_k - (EX_k)², или даже требования

В²_n = DX₁ + ... + DX_n = о (n²) при n → ∞.

Таким образом, П. Л. Чебышев показал возможность широкого обобщения теоремы Бернулли. А. А. Марков отметил возможность дальнейших обобщений и предложил применять название Б. ч. з. ко всей совокупности обобщений теоремы Бернулли [и в частности, к (3)]. Метод Чебышева основан на точном установлении общих свойств математич. ожиданий и на использовании так наз. Чебышева неравенства [для вероятности (3) оно дает оценку вида

эту границу можно заменить более точной, разумеется при более значительных ограничениях, см. Бернштейна неравенство]. Последующие доказательства различных форм Б. ч. з. в той или иной степени являются развитием метода Чебышева. Применяя надлежащее «урезание» случайных величин X_k (замену их вспомогательными величинами X'_{n, k}, именно: Х'_{n, k} = X_k, если |X_k - EX_k | ≤ L_n, и X'_{n, k} = 0, если |X_k - EX_k | > L_n, где L_n - нек-рые постоянные), А. А. Марков распространил Б. ч. з. на случаи, когда дисперсии слагаемых не существуют. Напр., он показал, что (3) имеет место, если при нек-рых постоянных δ > 0 и L > 0 и всех n

Аналогично доказывается теорема Хинчина (1929): если Х_n имеют одинаковые законы распределения и EX_n существует, то Б. ч. з. (3) выполняется.

Для сумм независимых случайных величин можно сформулировать более или менее окончательный вариант Б. ч. з. Для этого целесообразно перейти на более общую точку зрения, связанную с понятием предельного постоянства последовательности случайных величин. Случайные величины последовательности Y₁, ..., Y_n,... наз. предельно постоянными, если существует такая последовательность постоянных C₁, ..., С_n, ..., что при любом ε > 0 и n → ∞

(4)

(т. е. Y_n - C_n сходится к нулю «по вероятности»; если (4) выполняется с к.-л. С_n, то оно выполняется и с С_n = mY_n, где mY - медиана случайной величины У). Далее, вместо последовательности Х₁, ..., Х_n,... независимых случайных величин можно взять так наз. схему серий (см. Серий схема):

случайных величин (первый индекс - номер серии, второй - номер величины внутри серии). Случайные величины каждой отдельной серии предполагаются взаимно независимыми. Схему последовательности легко свести к схеме серий, полагая k₁ = 1, k₂ = 2, ..., X_{n, k} = X_k /n.

Пусть

Тогда общая форма вопроса о применимости Б. ч. з. для сумм независимых случайных величин такова: при каких условиях суммы Y_n предельно постоянны?

Ответ на этот вопрос дал А. Н. Колмогоров (1928). Допустим, не ограничивая общности, что медианы величин X_{n, k} равны нулю. Пусть X̃_{n, k} = X_{n, k} при | Х_{n, k} | ≤ 1 и X̃_{n, k} = 0 при |X_{n, k} | > 1 - Тогда одновременное выполнение двух условий:

и

необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм Y_n . В качестве С_n можно взять Достаточность этих условий легко доказывается методом Чебышева. Если математич. ожидания ЕX_{n, k} существуют, то легко указать дополнительные условия, при к-рых можно выбрать C_n = EY_n, что приводит к необходимым и достаточным условиям Б. ч. з. в классич. формулировке (3). Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {Х_n} эти условия сводятся, в соответствии с указанной теоремой Хинчина, к существованию математич. ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических Y_n в этом случае необходимо и достаточно условие

(5)

Легко привести примеры, когда условие (5) не выполняется. Так, оно не выполняется, если все Х_n имеют распределение Коши с плотностью 1/π (1 + x²) (к-рой соответствует характеристич. функция е^- |^t |). Здесь средние арифметические - имеют характеристич. функцию e^{- n[t/n]} = e^{- |t|}, и следовательно, имеют при любом n то же самое распределение, что и отдельные слагаемые.

В числе наиболее важных примеров, где Б. ч. з. не имеет места, следует отметить примеры, связанные с временами возвращения в случайных блужданиях. Напр., в симметричном Бернулли блуждании время Т_n до n-го возвращения в исходную точку есть сумма n независимых случайных величин X₁, ..., Х_n, где X₁ - время до 1-го возвращения, X₂ - время между 1-м и 2-м возвращениями и т. д. Распределение величины 2T_n /π n² сходится при n → ∞ к невырожденному предельному закону с плотностью

и равной нулю при x ≤ 0. Таким образом, в этом случае распределение среднего арифметического величин X_i, т. е. Т_n /n, размещается, грубо говоря, на отрезке длины порядка n (в то время как в случае применимости Б. ч. з. оно сосредоточивается на отрезках длины о(1)).

Применимость Б. ч. з. к суммам зависимых величин (и в его классич. формулировке, и в более общих) связана в первую очередь с неограниченным убыванием зависимости между случайными величинами X_i и X_j при увеличении разности их номеров, т. е. |i - j|. Впервые соответствующие теоремы были доказаны А. А. Марковым для величин, связанных в цепь Маркова (1997). Именно, пусть Х₁, ..., Х_n,... принимают конечное число значений и связаны в однородную цепь Маркова, причем все вероятности перехода за один шаг положительны. Здесь неограниченное убывание зависимости между Х_j и X_i при i - j → ∞ проявляется в том, что условное распределение Х_j при фиксированном значении X_i стремится при n → ∞ к пределу, не зависящему от выбранного значения Х_i (эргодическая теорема Маркова). Как следствие этого утверждения выводится Б. ч. з. : сначала устанавливается, что при n → ∞

где отсюда же вытекает, что при n → ∞

Более общий случай охватывается условиями С. Н. Бернштейна: если DX_j < L, R (X_i, Х_j) ≤ φ (|i - j|), где L - нек-рая постоянная, R - коэффициент корреляции, φ (n) - функция, стремящаяся к нулю при n → ∞, то к величинам {Х_n} применим Б. ч. з. (3). Для стационарных в широком смысле последовательностей {Х_n} условие на корреляцию можно несколько ослабить, заменив его условием

где R_j = R(Х_i, X_{i + j}).

Предыдущие результаты можно обобщить в различных направлениях. Во-первых, всюду выше рассматривалась сходимость «по вероятности». Рассматривают и другие типы сходимости: с вероятностью единица, в среднем квадратичном и т. п. (в действительности многие из указанных выше условий обеспечивают сходимость в среднем квадратичном, из к-рой вытекает сходимость по вероятности). Случай сходимости с вероятностью единица, ввиду его важности, выделяется особым названием «усиленного закона больших чисел» (см. Больших чисел усиленный закон).

Далее, многие теоремы переносятся с соответствующими изменениями на случайные векторы со значениями из евклидовых пространств любой размерности, из гильбертова пространства, из нек-рых банаховых пространств. Так, напр., если {Х_n} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов со значениями из сепарабельного банахова пространства и если Е||Х_n || (||x|| - норма х) существует, то

при любом ε > 0 и n → ∞.

Рассматриваемый в наиболее общей форме Б. ч. з. оказывается тесно связанным с эргодическими теоремами. Разумеется, многие теоремы переносятся и на случай средних , где X (t) - случайный процесс, зависящий от непрерывного параметра (см., например, [10]).

Наконец, вместо сумм случайных величин можно рассмотреть другие симметрические функции от них. Это было сделано А. Я. Хинчиным (1951-55) в связи с обоснованием нек-рых выводов статистич. механики [9]. Результат А. Я. Хинчина можно пояснить следующим частным примером. Пусть Х_{n, 1}, ..., Х_{n, n} - координаты тонки, равномерно распределенной на поверхности сферы

Тогда для широкого класса симметрических функций f(Х_{n, 1}, ..., Х_{n, n}) имеет место Б. ч. з. в том смысле, что их значения при n → ∞ оказываются предельно постоянными [это близко к замечанию П. Леви (P. Levy, 1925) о том, что достаточно регулярные функции очень большого числа переменных почти постоянны в большей части области определения].

В большинстве старых руководств приводились обширные статистич. данные, иллюстрирующие Б. ч. з. (см., напр. [4], [11]).

Лит. : [1] Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. пер. - Часть четвертая сочинения Я. Бернулли..., СПБ, 1913); [2] Poisson S.-D., Recherches sur la probabilitédes jugements en matière criminelle et en matière civile, précedées des règles générales du calcul des probabilités, P., 1837; [3] Чeбышeв П. Л., Полн. собр. соч., т. 2, М. - Л., 1947; [4] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [5] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М. - Л., 1946; [6] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. - Л., 1949; [7] Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [8] Гренандер У., Вероятности на алгебраических структурах, пер. с англ., М., 1965; [9] Xинчин А. Я., Симметрические функции на многомерных поверхностях, в кн. : Памяти А. А. Андронова, М., 1955, с. 541-74; [10] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [11] Uspensky J. V., Introduction to mathematical probability, N. Y. - L., 1937.

Ю. В. Прохоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.