БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА

Расстановка ударений: БО`ЛЬЦМАНА СТАТИ`СТИКА

БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА - статистика, применяемая к системе невзаимодействующих частиц, подчиняющихся классич. механике (классический идеальный газ). Распределение частиц идеального газа (поскольку они не взаимодействуют между собой) рассматривается не в фазовом пространстве всех частиц (Г-пространстве) как в статистич. механике Гиббса (см. Гиббса распределение), а в фазовом пространстве - пространстве координат и импульсов одной частицы (μ-пространстве). Это связано с тем, что для идеального газа фазовый объем в μ-пространстве сохраняется (частный случай Лиувилля теоремы).

Согласно Б. с, это фазовое пространство разбивается на большое число малых ячеек с таким фазовым объемом, чтобы в каждой из них содержалось еще большое число частиц N_i, и рассматриваются все возможные распределения частиц по этим ячейкам. Фазовый объем i-й ячейки G_i ее объем в μ-пространстве в единицах h, где h - постоянная Планка (универсальная постоянная h = 6, 62 ⋅ 10^{- 27} эрг ⋅ сек). Такое безразмерное G_i имеет смысл максимально возможного числа микросостояний в ячейке i, так как наименьшая величина произведения каждой пары координат и импульсов, согласно квантовой механике, равна h, а частица имеет три степени свободы.

В основу статистич. механики положено предположение, что все микроскопич. состояния, соответствующие заданной полной энергии и заданному числу частиц, равновероятны. Число различных способов, к-рыми можно распределить N частиц но М ячейкам размера G_i по N_i частиц в каждой, равно

где учитывается, что частицы полностью независимы, различимы и перестановки частиц в пределах каждой ячейки не меняют состояния. В Б. с. эта величина определяет статистич. вес или термодинамич. вероятность состояния (в отличие от обычной вероятности она не нормированна на единицу). При подсчете статистич. веса учитывается, что перестановка тождественных частиц не меняет состояния, и поэтому фазовый объем W_Б следует уменьшить в N! раз:

Фазы с таким уменьшенным объемом наз. родовыми фазами (в отличие от исходных видовых фаз).

Все микроскопич. состояния с различными распределениями частиц по фазовым ячейкам при заданном числе частиц

и полной энергии

(ε_i - энергия частиц в i-й ячейке) соответствуют одному и тому же макроскопич. состоянию.

Предполагается, что распределение частиц в состоянии статистич. равновесия соответствует наиболее вероятному распределению, т. е. максимуму W(... N_i ...) при заданном числе частиц N и энергии Е. Задача на условный экстремум W(... N_i ...) при фиксированных N и Е дает для среднего числа частиц в ячейке Больцмана распределение

где k - постоянная Больцмана (универсальная постоянная k = 1, 38 ⋅ 10^{- 16} эрг/град), Т - абсолютная температура, μ - химич. потенциал, определяемый из условия N = Σ_i N_i . В частном случае потенциального поля U(r ):

Б. с. есть частный случай статистики Гиббса - канонич. ансамбля для газа из невзаимодействующих частиц. Б. с. - предельный случай квантовых Ферми-Дирака статистики и Бозе-Эйнштейна статистики при достаточно высоких температурах, когда можно пренебречь квантовыми эффектами.

Б. с. предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann) в 1868-71.

Лит. : [1] Майер Дж., Гепперт-Майер М., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1952; [2] 3оммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, пер. с нем., М., 1955; [3] Шредингер Э., Статистическая термодинамика, пер. с англ., М., 1948; [4] Фаулер Р., Гуггенгейм Э., Статистическая термодинамика, пер. с англ., М., 1949.

Д. Н. Зубарев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.