БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Расстановка ударений: БО`ЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕ`НИЕ

БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - статистически равновесная функция f (р, r ) распределения по импульсам р и координатам r частиц идеального газа, молекулы к-рого подчиняются классич. механике, во внешнем потенциальном поле:

(1)

Здесь k - постоянная Больцмана (универсальная постоянная k = 1, 38 ⋅ 10^{- 16} эрг/град), Т - абсолютная температура, р² /2m - кинетич. энергия частицы, U(r ) - потенциальная энергия частицы в поле, константа А определяется из условия нормировки по безразмерному фазовому объекту:

где N - полное число частиц, h - постоянная Планка (универсальная постоянная h = 6, 62 ⋅ 10^{- 27} эрг ⋅ сек),

или из более обычного в кинетич. теории газов условия нормировки в пространстве скоростей и координат

Б. р. есть следствие Больцмана статистики идеального газа; представляет собой частный случай Гиббса распределения

для идеального газа, когда

и канонич. распределение Гиббса распадается на произведение Б. р. для отдельных частиц. Б. р. - предельный случай квантовых статистик идеального газа при достаточно высоких температурах, когда можно пренебречь квантовыми эффектами. При этом среднее число заполнения i-го квантового состояния частицы равно

(2)

где ε_i - энергия, соответствующая i-му квантовому состоянию частицы, μ - химич. потенциал, определяемый из условия . Формула (2) справедлива при таких температурах и плотностях, когда среднее расстояние между частицами больше отношения постоянной Планка h к модулю средней тепловой скорости

Частным случаем Б. р. (1) при U = 0 является Максвелла распределение

(3)

Функцию распределения (1) иногда наз. распределением Максвелла-Больцмана, а распределением Больцмана наз. функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц, представляющую плотность числа частиц в точке r :

(4)

n₀ - плотность числа частиц, соответствующая точке, где U = 0. Отношение плотностей числа частиц в различных точках зависит от разности потенциальных энергий, соответствующей этим точкам:

где Δ U = U(r₁) - U(r₂). В частном случае из (4) следует барометрическая формула, определяющая распределение плотности числа частиц в поле тяжести над земной поверхностью

(5)

где g - ускорение силы тяжести, m - масса частицы, h - высота над земной поверхностью, n₀ - плотность при z = 0.

Для смеси газов с различной массой Б. р. показывает, что распределение парциональных плотностей частиц для каждой из компонент независимо от других компонент. Для газа во вращающемся сосуде U(r) есть поле центробежных сил:

где ω - угловая скорость вращения.

Лит. см. при ст. Больцмана статистика.

Д. Н. Зубарев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.