НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

БЛИЗОСТИ ПРОСТРАНСТВО

Расстановка ударений: БЛИ`ЗОСТИ ПРОСТРА`НСТВО

БЛИЗОСТИ ПРОСТРАНСТВО - множество Р с бинарным отношением δ на множестве всех его подмножеств, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) Аδ В равносильно Вδ А (симметричность);

2) Aδ (B ∪ C) равносильно Аδ В или Аδ С (аддитивность);

3) Аδ А равносильно А ≠ ∅ (рефлексивность). Отношение δ определяет близостную структуру, или просто близость, на Р; при этом, если Аδ В, то А и В наз. близкими множествами, а если Аδ¯ В (δ¯ означает отрицание δ), - то далекими. Б. п. введены в 1936 (опубликовано в 1951, см [1]). Свойства Б. п. являются обобщением равномерных свойств метрич. пространства аналогично тому, как в топологич. пространстве обобщаются его непрерывные свойства. Попытка введения структуры, до нек-рой степени аналогичной близостной, была предпринята в [3], когда еще не вполне оформилось понятие топологич. пространства, и вместо замыкания рассматривалось производное множество: введенное там отношение между множествами соответствовало у них общей (быть может, «идеальной») тонки прикосновения.

Более содержательны понятия близости, удовлетворяющие, кроме 1)-3), дополнительным аксиомам, аналогичным аксиомам отделимости; такова, напр., хаусдорфова близость, к-рая удовлетворяет аксиоме: {х}δ {у} равносильно х = у (принтом вместо 3) достаточно принять ее следствие: ∅ δ ∅); нормальная близость, характеризующаяся аксиомой: если Аδ¯ В, то существуют непересекающиеся подмножества U и V такие, что Aδ¯ (P\U) и Bδ¯ (P\V).

Появление аксиом Б. п., естественно симметризующих аксиомы топологич. пространства, сформулированные в терминах замыкания (т. е. близости множества и точки), стало возможным после того, как было установлено, что свойство отображений f: М1 → М2 метрич. пространств, состоящее в том, что любые множества, лежащие в М1 на нулевом расстоянии, имеют в М2 образы, также расположенные бесконечно близко, в точности эквивалентно равномерной непрерывности. (Аналогичное топологич. свойство f [K] ⊂ [fK], где [K] - замыкание К, иногда принимается за определение непрерывности.) Таким образом, всякая метрика dist на множестве Р порождает близость на нем: Аδ В эквивалентно dist (А, В) = 0, причем δ - непрерывность в смысле последней эквивалентна равномерной непрерывности [2]; Б. п., для к-рых такая метрика возможна, наз. метризуемыми. Близостная структура порождает топология, структуру: замыкание множества K определяется следующим образом: х ∈ [K] тогда и только тогда, когда {х}δ К; при этом из δ-непрерывности отображения вытекает его непрерывность в этой топологии. Б. п., порождающие одну и ту же топологию, не обязательно δ-изоморфны: так, плоскости Евклида и Лобачевского не δ-изоморфны, хотя и гомеоморфны [2]. Топология хаусдорфовых близостей хаусдорфова; напротив, из близостной нормальности следует лишь полная регулярность: замкнутые непересекающиеся множества не обязательно далеки. Более того, всякая вполне регулярная топология порождается нормальной близостью, причем бикомпактная - единственной. Поскольку произвольные далекие множества в Б. п. можно отделить δ-непрерывной функцией [2], они функционально отделимы в смысле его топологии; те Б. п., для к-рых верно обратное, наз. пространствами близости Стоуна-Чеха.

С наличием топологии в Б. п. связаны нек-рые обобщения близостной структуры, к-рые обычно сводятся к замене аксиомы нормальности какой-либо более слабой. Таковы, напр., близость Лодато: если Аδ¯ В, то Aδ¯ [B]; близость Федорчука (δ-близость): Аδ¯ В равносильно существованию открытого C ⊃ A, для к-рого внутренность замыкания Int [С] совпадает с А и притом Aδ¯ (X\[С]); и т. д.

Естественность понятия Б. п. проявляется еще и в том, что всякое Б. п. имеет бикомпактное расширение и притом единственное; таким образом, гомеоморфные Б. п. взаимно однозначно соответствуют бикомпактным расширениям порождаемого ими топологич. пространства, δ-непрерывное отображение, т. е. такое отображение f: Р → Q, что для любых A, B ⊂ P из Аδ В следует fAδ fB, и только оно продолжается в непрерывное отображение Р¯ → Q¯ бикомпактных расширений. Высказанные утверждения, впервые сформулированные в терминах Б. п. в [4], были доказаны, по существу, еще в 1948 П. Самюэлем (P. Samuel). При изучении компактификации равномерных пространств им было установлено [10], что не всякие, а только нек-рые равномерные пространства (так наз. прекомпактные - пространства с бикомпактными пополнениями) можно равномерно непрерывно вложить в бикомпакт, однако для каждого равномерного пространства существует единственное бикомпактное расширение (S-рефлексия) r : P → SP (обратное отображение r- 1 лишь непрерывно, но не равномерно непрерывно), причем на это расширение можно продолжить все окружения нек-рого типа, напр., все окружения вида Р × Р\А¯ В. Таким образом, равномерные структуры разбиваются на классы эквивалентности, - две равномерности эквивалентны, если они имеют одну и ту же S-рефлексию. Близость в равномерном пространстве вводится условием: Аδ В, если для любого окружения Q имеет место (А × В) ∩ Ω ≠ ∅ ; построенное вложение, равно как и указанная эквивалентность, есть δ-изоморфизм, т. е. взаимно однозначное и δ-непрерывное отображение.

Взаимно однозначное соответствие между близостями и компактификациями привело к тому, что в течение довольно длительного времени после обнаружения факта старались исследовать главным образом те свойства этих пространств, к-рые формулируются непосредственно в терминах бикомпактных расширений. Таковы, напр., размерности δ d (но не Δ d) [6], близостный вес, близостная связность и т. п. На простое свойство близостной связности, т. е. свойство: из А × (Р\А) ≠ ∅ следует Аδ Р\А, обратил внимание еще Г. Кантор (G. Cantor), к-рый определил континуум (не путать с введенным позже канторовым континуумом!) как близостно связное полное подпространство в Еn . Хотя, в принципе, все свойства Б. п. Р заключены в свойствах инъекции Р → Р¯, все они, во-первых, отнюдь не обязательно заключены в свойствах самого Р, во-вторых, не известно, каким именно особенностям инъекции Р → P¯ соответствуют такие свойства Р, как, напр., метризуемость, полнота, правильность. Б. п. ценны именно тем, что с их помощью можно изучать компактификации, но не наоборот. Свойства Б. п., не описываемые непосредственно в топологич. терминах, наз. равномерными. Первым систематически изученным равномерным свойством Б. п. явилась полнота: попытки ввести фильтры Коши или фундаментальные последовательности в терминах бикомпактных расширений не увенчались успехом.

Покрытие ω наз. равномерным покрытием Б. п. Р, если с него начинается измельчающаяся последовательность ω ≫ ω1 ≫ ω2 ≫... звездно вписанных покрытий (т. е. St(x, ωn + 1} ⊂ U ∈ ωn), причем ни одно из них не разрывает близких множеств, т. е. всегда Lδ¯ P\St(L, ωn).

Множество равномерных покрытий Б. п. совпадает с объединением всех равномерных структур, совместимых с этим пространством [4]. Можно также определить равномерные покрытия как прообразы при всевозможных δ-непрерывных отображениях в метрич. пространства покрытий, имеющих положительное лебегово число.

Полнота, определенная с помощью фильтров Коши - таких фильтров Ф, что Ф ∩ ω ≠ ∅ для любого равномерного покрытия ω, - соответствует интуитивным представлениям и совпадает с метрической для метризуемых пространств. Для полноты Б. п. достаточно, чтобы какое-либо из совместимых с ним равномерных пространств было полным. Неизвестно (1977), необходимо ли это условие; во всяком случае, контрпримеры могут доставляться только неправильными (см. ниже) Б. п. Построены [5] пополнения Б. п. как наименьшие (уже не единственные) полные расширения; одновременно пополнения суть наибольшие расширения, на к-рые продолжаются все равномерные покрытия в виде равномерных же покрытий, а также все δ - непрерывные отображения в полные Б. п. (другими словами, подкатегория полных Б. п. - наряду с подкатегорией бикомпактных пространств - рефлексивная категория). Пространства с бикомпактными пополнениями (т. е. прекомпактные пространства) характеризуются тем, что из каждого их равномерного покрытия можно выбрать конечное равномерное подпокрытие.

Произведение Б. п. Р и Q первоначально вводили, индуцируя на теоретико-множественное произведение близость из топология, произведения Р¯ × Q¯ их бикомпактных расширений. Такое произведение, несмотря на то, что оно идентично с произведением в смысле категории Б. п., все же неудовлетворительно геометрически и пригодно главным образом для построения экзотических примеров: так, это произведение (обозначаемое обычно Р ⋅ Q) двух бесконечных дискретных пространств недискретно и даже неметризуемо, двух прямых линий - неметризуемо и анизотропно: поворот получившейся «плоскости» на острый угол не будет δ-изоморфизмом, и т. п.

Близостным произведением двух (и аналогично любого числа) Б. п. Р и Q наз. произведение, наделенное грубейшей близостью [7], в к-рой равномерны все декартовы произведения равномерных покрытий факторов, т. е. все покрытия вида ω (×)ψ = {U × V, U ∈ ω, V ∈ ψ }. Требование δ-непрерывности обеих проекций Р × Q → P и Р × Q → Q эквивалентно аналогичному условию лишь для конечных равномерных покрытий. Для равномерных пространств, в отличие от Б. п., оба определения эквивалентны, так как подкатегория метрич. пространств не замкнута относительно декартова произведения в категории Б. п., хотя замкнута в категориях топологических и равномерных пространств. Близостное произведение можно понимать как естественное распространение функтора произведения с подкатегории метризуемых Б. п. на все Б. п., т. е. близость произведения Q 1 × Q2 представляет собой грубейшую близость, в к-рой δ-непрерывность любого отображения f1 × f2 : Q1 × Q2 → M1 × M2, где Мi - метрич. пространства, следует из δ-непрерывности обоих отображений fi : Qi → Mi, если под М1 × М2 понимать обычное произведение метрич. пространств [7].

Незамкнутость подкатегории метрич. пространств приводит к непривычному, но неизбежному следствию: «вектор-функция» Р → А × В, у к-рой обе «координатные» функции Р → А и Р → В δ-непрерывны, не обязательно δ-непрерывна (причем безразлично, что понимается под А и В: произвольные Б. п. или только метризуемые), лишь бы произведение метрич. пространств понималось в обычном смысле. Те Б. п., для к-рых указанного явления не происходит, наз. правильными. Правильные Б. п. можно определять также, как такие, у к-рых проекция диагонали в Р × Р является δ-изоморфизмом. В правильных Б. п. и только в них пересечение ω (∩)ψ = {U ∩ V, U ∈ ω, V ∈ ψ } двух равномерных покрытий снова есть равномерное покрытие, и совокупность всех таких пересечений является равномерностью [7].

Для произвольного Б. п. Р имеется грубейшее правильное пространство Р!, мажорирующее Р, - так наз. поправление. Поправление Р! является в то же время тончайшим Б. п., на к-рое продолжаются любые отображения вида M → Р, где М - метризуемо (т. е. отображение M → P! δ-непрерывно, если отображение М → Р δ-непрерывно). Утверждение остается верным, если М заменить на произвольное правильное Б. п. Q; таким образом, множества δ-непрерывных отображений Q → P и Q → Р! находятся в естественном взаимно однозначном соответствии, т. е. подкатегория правильных Б. п. корефлективна, а функтор «!» является корефлектором. Метризуемые Б. п. правильны (и проекция Р! → Р-гомеоморфизм), подкатегория метрич. пространств замкнута относительно декартова произведения в категории правильных пространств. Кроме метрических, правильны прекомпактные пространства, более того, утверждение: если для всех Q из Q! = Р следует Q = Р, - эквивалентно прекомпактности Р.

Поправления произведений « ⋅ » и « × » совпадают: (Р ⋅ Q)! = (P × Q)! = (P! × Q!)!. Таким образом, произведение P ⋅ Q почти всегда неправильно, поскольку совпадение Р ⋅ Q = P × Q имеет место тогда и только тогда, когда один из факторов прекомпактен; неизвестно (1977), правильно ли произведение правильных Б. п.

Теория размерности Б. п. имеет нек-рые особенности. Прежде всего, для Б. п. рассматриваются две размерности «по покрытиям» δ d и Δ d (определенные аналогично топологич. размерности dim, но с использованием конечных или, соответственно, произвольных равномерных покрытий), и только одна индуктивная размерность δ Ind, аналогичная размерности Ind, с заменой непересекающихся множеств на далекие [11]. Однако близостный аналог перегородки нетривиален: множество Н «освобождает» далекие множества А и В, если Нδ¯ А ∪ В и из Нδ¯ U ⊃ А ∪ B следует U = V × W, причем A ⊂ Vδ¯ W ⊃ B. Нет примера (1977) несовпадения хотя бы каких-нибудь двух из этих трех размерностей. Размерность δ d конечно аддитивна, и δ dP = dim Р; если Р плотно в Q, то δ dP = δ dQ. Размерность δ Ind не меньше размерности δ d и тоже не может уменьшаться при переходе к плотному подпространству, хотя неизвестно (1977), может ли она при этом увеличиваться; при переходе к пополнению она сохраняется. Для метризуемых пространств δ Ind М ≤ Δ dM, в произвольном пространстве выполнено либо Δ dP = δ dP, либо Δ dP = ∞. Построено несколько примеров равномерных пространств с несовпадающими размерностями, но ни одна из этих конструкций не верна для Б. п. В близостном произведении N × N, где N дискретно и счетно, совпадение размерностей Δ d и δ d происходит в том и только в том случае, когда это Б. п. правильно [8]. Одновременно из неправильности N × N следует нарушение монотонности для Δ d (так как Δ d (N × N) = 0).

Лит. : [1] Ефремович В. А., «Докл. АН СССР», 1951, т. 76, с. 341-3; [2] его же, «Матем. сб. », 1952, т. 31, № 1, с 189-200; [3] Riesz F., «Аtti del IV Congresso Jntern. dei Matem. Roma, 1908», v. 2, Roma, 1909, p. 18-24; [4] Смирнов Ю. M., «Матем. сб. », 1952, т. 31, № 3, с. 543-74; [5] его же, «Тр. Моск. матем. об-ва», 1954, т. 3, с. 271-306; 1955 т. 4, с. 421-438; [6] его же, «Матем. сб. », 1956, т. 38, № 3, с. 283-302; [7] Поляков В. 3., «Матем. сб. », 1965, т. 67, № 3, с. 428-39; [8] его же, там же, 1965, т. 68, №2, с. 242-50; [9] его же, там же, 1968, т. 76, № 4, с. 593-604; [10] Samuel P., «Trans. Amer. Math. Soc. » 1948, v. 64, p. 100-32; [11] Isbell J. r «Pacif. J. Math. », 1959, v. 9, p. 107-21.

В. З. Поляков.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru