БИЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА

Расстановка ударений: БИЦИКЛИ`ЧЕСКАЯ ПОЛУГРУ`ППА

БИЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА - полугруппа с единицей и с двумя образующими а, b, заданная определяющим соотношением аb = 1. Одна из реализаций Б. п. - декартов квадрат N × N, где N - множество неотрицательных целых чисел относительно операции (k, l) * (m, n) = (k + m - min (l, m), l + n - min (l, m)). Б. п. является инверсной полугруппой и как инверсная полугруппа моногенна, т. е. порождена одним элементом. Идемпотенты Б. п. образуют цепь, упорядоченную по типу неотрицательных чисел. Б. п. бипроста (см. Простая полугруппа). Б. п. нередко возникают в теоретико-полугрупповых исследованиях, не только как один из представителей нек-рых важных классов полугрупп, но и в качестве «блоков», определяющих строение тех или иных полугрупп. Напр., для всякого идемпотента е 0-простой, но не вполне 0-простой полугруппы S существует бициклическая подполугруппа в S, содержащая е в качестве единицы (см. [1], § 2. 7). Указанные в определении элементы а и b Б. п. В будут соответственно ее левым и правым увеличительными элементами (т. е. существуют такие собственные подмножества X и Y в В, что аХ = В, Yb = B). Более того, в полугруппе S с единицей е элемент с будет левым увеличительным тогда и только тогда, когда S содержит бициклическую полугруппу, единица к-рой совпадает с e, а роль элемента а играет с; аналогичное утверждение верно для правых увеличительных элементов, так что S обладает левыми увеличительными элементами тогда и только тогда, когда она обладает правыми увеличительными элементами.

Лит. : [1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [2] Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960.

Л. Н. Шеврин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.