БИЦАДЗЕ УРАВНЕНИЕ

Расстановка ударений: БИЦА`ДЗЕ УРАВНЕ`НИЕ

БИЦАДЗЕ УРАВНЕНИЕ - дифференциальное уравнение с частными производными, к-рое в комплексной записи имеет вид

4w_{z¯ z¯} ≡ w_xx + 2iw_xy - w_yy = 0,

где w(z) = u + iv, z = x + iy, и к-рое сводится к эллиптич. системе

u_xx - u_yy - 2v_xy = 0,

v_xx - v_yy + 2u_xy

с действительными независимыми переменными х и у. Для Б. у. (и сопряженного с ним уравнения) однородная задача Дирихле в круге С: |z - z₀ | < ε, любого, пусть даже сколь угодно малого, радиуса ε имеет бесконечное множество линейно независимых регулярных решений (см. [1]). Задача Дирихле для неоднородного уравнения w_{z¯ z¯} = f в круге С. не будучи ни фредгольмовой, ни нётеровой - нормально разрешима по Хаусдорфу; эта же задача в области с границей, содержащей отрезок прямой у = 0, не является даже хаусдорфовой, хотя однородная задача имеет только нулевое решение (см. [2]).

Лит. : [1] Бицадзе А. В., «Успехи матем. наук», 1948, т. 3, в. 6 (28), с. 211-12; [2] его же, Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [3] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [4] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966.

А. М. Нахушев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.