БИРКГОФА-ВИТТА ТЕОРЕМА

Расстановка ударений: БИРКГО`ФА-ВИ`ТТА ТЕОРЕ`МА

БИРКГОФА-ВИТТА ТЕОРЕМА, Пуанкаре-Биркгофа-Витта теорема, - теорема о представимости алгебр Ли в ассоциативных алгебрах. Пусть G-алгебра Ли над полем k, U(G) - ее универсальная обертывающая алгебра, В = {b_i, i ∈ I}, - базис алгебры G, линейно упорядоченный нек-рым образом. Тогда всевозможные конечные произведения b_α1 b_α2 ...b_αr, где _α1 ≤_α2 ≤... ≤_αr, образуют базис алгебры U(G) и, таким образом, канонич. гомоморфизм: G → U(G) является мономорфизмом.

Из всякой ассоциативной алгебры R может быть построена алгебра Ли L(R) заменой операции умножения в R на операцию коммутирования

[ху] = ху - ух.

Б.-В. т. иногда формулируют следующим образом: для всякой алгебры Ли G над любым полем к существует такая ассоциативная алгебра R над этим же полем, что G изоморфно вкладывается в L(R).

Первый вариант этой теоремы был получен А. Пуанкаре [1]. Более полное доказательство позднее дано Э. Виттом [2] и Г. Биркгофом [3]. Утверждение теоремы остается верным, если k - область главных идеалов [4], в частности для колец Ли без операторов, но в общем случае - для алгебр Ли с произвольной областью операторов - утверждение теоремы не верно [5].

Лит. : [1] Роinсаré Н., «Cambrige Phil. Trans. », 1900, v. 18, p. 220-5; [2] Witt E., «J. reine und angew. Math. », 1937, Bd 177, №3, S. 152-60; [3] Birkhoff G., «Ann. Math. », 1937, v. 38, № 2, p. 526-32; [4] Lazard M., «Compt. rend. Acad. Sci. », 1952, v. 234, № 8, p. 788-91; [5] Шиpшов А. И., «Успехи матем. наук», 1953, т. 8, в. 5, с. 173-5; [6] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [7] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [8] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц М., 1969; [9] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960.

Т. С. Фофанова

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.