БИРАЦИОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Расстановка ударений: БИРАЦИОНА`ЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕ`НИЕ

БИРАЦИОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, бирациональный изоморфизм, - рациональное отображение алгебраич. многообразий, индуцирующее изоморфизм их полей рациональных функций. В более общем смысле, рациональное отображение схем f: X → Y наз. бирациональным отображением, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: а) существуют такие плотные открытые множества U ⊂ X и V ⊂ Y, что f определено на U и осуществляет изоморфизм подсхем f| U: U⋍ V; б) если {x_i}_{i ∈ I}, {y_j}_{j ∈ J} - множества общих точек неприводимых компонент соответственно схем X и Y, то f индуцирует биективное соответствие множеств α : I → J и изоморфизм локальных колец О_{X, xi} ⋍ O_{Y, yα (i)} Для каждого i ∈ I

Если схемы X и Y неприводимы и приведены, то локальные кольца их общих точек отождествляются с полями рациональных функций соответственно на X и Y. В этом случае Б. о. f: X → Y индуцирует, согласно условию б), изоморфизм полей рациональных функций: R(Y)⋍ R(X).

Схемы X и Y наз. бирационально эквивалентными, или бирационально изоморфными, если существует Б. о. f: X → Y. Частный случай Б. о. - бирационалъный морфизм.

Простейшим Б. о. является моноидалъное преобразование с неособым центром. Для гладких полных многообразий размерности ≤ 2 всякое Б. о. может быть представлено в виде композиции таких преобразований n обратных к ним. В общем случае вопрос остается (к 1977) открытым.

Лит. : [1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

И. В. Долгачев, В. А. Псковских.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.