БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Расстановка ударений: БИРАЦИОНА`ЛЬНАЯ ГЕОМЕ`ТРИЯ

БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел алгебраич. геометрии, основной задачей к-рого является классификация алгебраич. многообразий с точностью до бирациональной эквивалентности (см. Бирационалъное отображение). Над фиксированным полем констант k каждый класс бирационально эквивалентных многообразий определяет конечно порожденное над k поле, изоморфное полю рациональных функций любого многообразия из этого класса. Обратно, каждому такому полю соответствует класс бирационально эквивалентных многообразий - моделей этого поля. Таким образом, бирациональная классификация алгебраич. многообразий эквивалентна классификации с точностью до k-изоморфизма конечно порожденных полей над k.

Наиболее общим бирациональным инвариантом является размерность алгебраич. многообразий. Для одномерных алгебраич. многообразий - неприводимых алгебраич. кривых - в каждом классе бирациональной эквивалентности существует единственная с точностью до k-изоморфизма гладкая проективная кривая - неособая модель. Тем самым бирациональная классификация алгебраич. кривых сводится к классификации с точностью до k-изоморфизма гладких проективных кривых, что приводит к модулей проблеме. В размерности ≥ 2 задача сильно усложняется. Уже существование гладкой модели есть проблема разрешения особенностей алгебраич. многообразий, решенная положительно (к 1977) только для поверхностей и для многообразий произвольной размерности над полем характеристики нуль. В том случае, когда такие модели существуют, в классе бирационально эквивалентных многообразий их бесконечно много. Особое место среди них занимают минимальные модели. Их бирациональная классификация во многих случаях совпадает с классификацией с точностью до k-изоморфизма, как и для кривых. Однако даже для поверхностей (а именно, рациональных и линейчатых) это, вообще говоря, не так.

Основные результаты в классификации алгебраических поверхностей были получены геометрами итальянской школы (см. [1]). Для многообразий размерности ≥ 3 имеются (к 1977) лишь отдельные результаты (см. [3]).

Основными дискретными бирациональными инвариантами гладких полных алгебраич. многообразий над полем k характеристики нуль являются следующие: арифметич. род, геометрич. род, кратный род, размерность пространства регулярных дифференциальных форм, кручения Севери, фундаментальная группа, группа Брауэра.

Одна из важнейших задан Б. г. - проблема рациональности алгебраич. многообразий, т. е. проблема описания рациональных многообразий - многообразий, бирационально эквивалентных проективному пространству.

Если поле констант не является алгебраически замкнутым, то задачи Б. г. тесно связаны с алгебраических многообразий арифметикой. В этом случае важной является проблема описания бирациональных k-форм данного многообразия V над полем k, в частности, напр., когда V = Pⁿ_k - проективное пространство над k (см. [2]). Существенным в заданной задаче является описание группы бирациональных преобразований многообразия V.

Лит. : [1] Алгебраические поверхности, М., 1965; [2] Манин Ю. И., Кубические формы, М., 1972; [3] Roth L., Algebraic threefolds, В., [u. a.], 1955; [4] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [5] Бальдассарри М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [6] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974.

И. В. Долгачев, В. А. Псковских.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.