БИОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА

Расстановка ударений: БИОРТОГОНА`ЛЬНАЯ СИСТЕ`МА

БИОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА - пара множеств {a_t} и {ξ_t}, t ∈ T, элементов (топологического) векторного пространства X и (топологического) сопряженного пространства X* соответственно, удовлетворяющая условиям:

ξ^t (a_s) = 〈 ξ^t, a_t 〉 〉 = 0,

если t ≠ s, и отлично от нуля при t = s (здесь 〈 ⋅, ⋅ 〉 - каноническая билинейная форма, спаривающая X и X*). Напр., Б. с. является базис Шаудера и множество, образованное коэффициентами разложения х по нему. В гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением 〈 ⋅, ⋅ 〉 и базисом {а_t} множество {b_s}, удовлетворяющее условиям:

〈 a_t, b_s 〉 = δ_st,

где δ_st = 1 при t = s и δ_st = 0 при t ≠ s, также является базисом; он наз. базисом, дуальным к {a_t}, и, поскольку Н = Н*, множества {а_t} и {b_t} образуют Б. с. В частности, базис в Н наз. ортонормированный, если он дуален самому себе.

Существуют, однако, Б. с, не образующие даже слабого базиса, - таково, напр., множество функций e^ikx, k ∈ ℤ, x ∈ R, в пространстве непрерывных периодич. функций, наделенном нормой ||f|| = sup |f(x)|.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.