БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД

Расстановка ударений: БИНОМИА`ЛЬНЫЙ РЯ`Д

БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД - степенной ряд вида

где n - целое, а α - произвольное фиксированное число (вообще говоря, комплексное), z = x + iy - комплексное переменное, (^α_n) - биномиальные коэффициенты. Для целых α = m ≥ 0 Б. р. сводится к конечной сумме m + 1 слагаемых

называемой Ньютона биномом. Для остальных значений α Б. р. абсолютно сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1. В граничных точках единичной окружности |z| = 1 Б. р. ведет себя следующим образом: 1) если Re α > 0, то он абсолютно сходится во всех точках окружности |z| = 1; 2) если Re α ≤ - 1, то он расходится во всех точках окружности |z| = 1; 3) если - 1 < Rе α ≤ 0, то Б. р. расходится в точке z = - 1 и условно сходится во всех остальных точках окружности |z| = 1. Во всех точках, в к-рых Б. р. сходится, он представляет главное значение функции (1 + z)^α, равное 1 при z = 0. Б. р. является частным случаем гипергеометрического ряда.

Если z = x и α - действительные числа, причем α не есть целое неотрицательное число, то Б. р. ведет себя следующим образом: 1) если α > 0, то он абсолютно сходится при - 1 ≤ x ≤ 1 2) если α ≤ - 1, то Б. р. абсолютно сходится при - 1 < x < 1 и расходится при всех иных значениях х; 3) если - 1 < α ≤ 0, то Б. р. абсолютно сходится при - 1 < x < 1, условно сходится при х = 1 и расходится при х = - 1; при |х| > 1 Б. р. всегда расходится.

Б. р. появляется впервые, по-видимому, у И. Ньютона (I. Newton) в 1664-65. Исчерпывающее исследование Б. р. было проделано Н. Абелем [1]. Оно послужило началом теории степенных рядов в комплексной области.

Лит. : [1] Abel N., «J. reine und angew. Math. », 1826, Bd 1, № 4, S. 311-39; [2] Knopp K., Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5 Aufl., В., 1947; [3] Mapкушeвич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М. 1967.

Е. Д. Соломенцев

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.