БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Расстановка ударений: БИНОМИА`ЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕ`НТЫ

БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ - коэффициенты при степенях z в разложении Ньютона бинома (1 + z)^N . Б. к. обозначается (^N_n) или Сⁿ_N и равен

(1)

Обозначение (^N_n) восходит к Л. Эйлеру (L. Euler); второе обозначение Сⁿ_N появилось в 19 в. и связано, по-видимому, с интерпретацией Б. к. Сⁿ_N как числа различимых неупорядоченных сочетаний из N различных объектов по n в каждом сочетании. Б. к. наиболее удобно выписываются в виде арифметического треугольника, или Паскаля треугольника, построение к-рого основано на свойстве Б. к.

(2)

Как понятие Б. к., так и арифметич. треугольник в более или менее развитой форме были известны еще математикам древности, Б. Паскаль (В. Pascal) составил подробное исследование (1665) свойств Б. к. Кроме соотношения (2), имеется много других полезных соотношений между Б. к., напр. :

В частности, отсюда получается

Использование Стирлинга формулы позволяет получать приближенные выражения для Б. к. Напр., если N много больше n:

На случай любого комплексного числа α Б. к. обобщаются по формуле

При этом нек-рые из соотношений (2)-(4) сохраняются, но, вообще говоря, в измененном виде. Напр.,

Таблицы Б. к. см. [2], [3].

Лит. : [1] Корн Г., Корн Т., Справочник по математике, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [2] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [3] Table of binomial coefficients, Cambridge, 1954.

E. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.