БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Расстановка ударений: БИНОМИА`ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ`НИЕ

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение Бернулли, - распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения х = 0, 1, ..., n с вероятностями соответственно

(С^x_n - биномиальный коэффициент; р - параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения на отрезке 0 ≤ р ≤ 1). Б. р. - одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Пусть Y₁, Y₂,... - последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых может принимать лишь два значения 1 или 0 с вероятностями р и 1 - р соответственно (т. е. каждая из Y_i подчиняется Б. р. при n = 1). Величины Y_i можно трактовать как результаты независимых испытаний, причем Y_i = 1 в случае «положительного исхода» и Y_i = 0 в случае «отрицательного исхода» испытания с номером i. Если общее количество независимых испытаний n фиксированно, то такая схема наз. Бернулли испытаниями, причем суммарное количество положительных исходов

Х = Y₁ + ... + У_n, n ≥ 1,

в этом случае подчиняется Б. р. с параметром р.

Математич. ожидание Ez^X (производящая функция Б. р.) при любом значений z есть многочлен [pz + (1 - р)]ⁿ, представление к-рого по формуле бинома Ньютона имеет вид

b₀ + b₁ z + ... + b_n zⁿ

(отсюда и произошло само назв. «Б. р. »). Моменты Б. р. выражаются формулами

Функция Б. р. определяется при любом действительном значении 0 < у < n формулой

где [у] - целая часть у, причем

(В (а, b) - бета-функция Эйлера, интеграл в правой части наз. неполной бета-функцией).

При n → ∞ функция Б. р. выражается в терминах функции Ф стандартного нормального распределения асимптотич. формулой (теорема Муавра-Лапласа)

где

равномерно для всех действительных у. Существуют и другие нормальные приближения Б. р. с остатками более высокого порядка малости.

Если количество независимых испытаний n велико, а вероятность р мала, то индивидуальные вероятности bⁿ (n, p) приближенно выражаются в терминах Пуассона распределения:

При этом, если n → ∞ и 0 < с ≤ y ≤ C (с и С - постоянные), то равномерно относительно всех р из интервала 0 < р < 1 имеет место асимптотич. формула

где

Многомерным обобщением Б. р. является полиномиальное распределение.

Лит. : [1] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; [3] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [4] Прохоров Ю. В., «Успехи математических наук», 1953, т. 8, № 3, с. 135-42; [5] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.

Л. Н. Большев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.