БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ

Расстановка ударений: БИНА`РНОЕ ОТНОШЕ`НИЕ

БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ - двуместный предикат на заданном множестве. Под Б. о. иногда понимают подмножество множества А × А упорядоченных пар (а, b) элементов заданного множества А. Б. о. - частный случай отношения. Пусть R ⊆ A × A. Если (a, b) ∈ R, то говорят, что элемент а находится в бинарном отношении R к элементу b. Вместо (a, b) ∈ R пишут также aRb.

Пустое подмножество ∅ в А × А и само множество А × А наз., соответственно, нуль-отношением и универсальным отношением в множестве А. Диагональ множества А × А, т. е. множество Δ = {(а, а)/а ∈ А}, есть отношение равенства, или единичное бинарное отношение в А.

Пусть R, R₁, R₂ - Б. о. в множестве А. Наряду с теоретико-множественными операциями объединения R₁ ∪ R₂, пересечения R₁ ∩ R₂ и дополнения R' = (A × A)\R для Б. о. рассматривают также операцию обращения:

R^{- 1} = {(a, b) | (b, а) ∈ R}

и операцию умножения:

R₁ ○ R₂ = {(a, b) | (∃ с ∈ A)(aR₁ c и сR₂ b)}.

Б. о. R^{- 1} наз. обратным для R. Умножение Б. о. ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.

Б. о. R в А называется: а) рефлексивным, если Δ ⊆ R; б) транзитивным, если R ○ R ⊆ R; в) симметричным, если R^{- 1} ⊆ R антисимметричным, если R ∩ R^{- 1} ⊆ Δ. Если Б. о. R обладает нек-рым из свойств а), б), в), г), то обратное отношение R^{- 1} обладает этим же свойством. Б. о. R ⊆ A × A наз. функциональным, если R^{- 1} ○ R ⊆ Δ.

Наиболее важными типами Б. о. являются эквивалентности, порядки (линейные и частичные) и функциональные отношения.

Д. М. Смирнов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.