БИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Расстановка ударений: БИЛИНЕ`ЙНОЕ ОТОБРАЖЕ`НИЕ

БИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, билинейная функция, - отображение f произведения V × W левого унитарного А-модуля V и правого унитарного В-модуля W в (А, В)-бимодуль H, удовлетворяющее следующим условиям:

f(v + v', w) = f(v, w) + f(v', w); f(v, w + w') = f{v, w) + f(y, w'); f(av, w) = af(v, w); f(v, wb) = f(v, w)b;

здесь v, v' ∈ V, w, w' ∈ W, a ∈ A, b ∈ B - произвольно выбранные элементы, А и В - кольца с единицей. Тензорное произведение V⊗ W над ℤ имеет естественную структуру (А, B) - бимодуля. Пусть φ : V × W → V⊗ W - канонич. отображение, тогда любое Б. о. f индуцирует гомоморфизм (А, B) - бимодулей f: V⊗ W → H, для к-рого f = f̃ ○ φ. Если А = В и коммутативно, то множество L² (V, W, Н) всех Б. о. V × W → H является А-модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из А, а соответствие f → f̃ устанавливает канонич. изоморфизм A-модуля L² (V, W, H) и A-модуля L(V⊗ W, H) всех А-линейных отображений V⊗ W в H.

Пусть V и W - свободные модули с базисами v_i, i ∈ I и w_j, j ∈ J, соответственно. Б. о. f полностью определяется заданием f (v_i, w_j), для всех i ∈ I, j; ∈ J, поскольку для любых конечных подмножеств I' ⊂ I, J' ⊂ J имеет место формула

(*)

И обратно, при произвольном выборе элементов h_ij ∈ H, i ∈ I, j ∈ J, формула (*), где f(v_i, w_j) = h_ij, определяет Б. о. V × W в H. Если I и J конечны, матрица ||f(v_i, w_j || называется матрицей Б. о. f относительно данных базисов.

Пусть задано Б. о. f: V × W → H. Элементы v ∈ V, w ∈ W наз. ортогональными относительно f, если f (v, w) = 0. Подмножества X ⊂ V и Y ⊂ W наз. ортогональными относительно f, если всякий х ∈ Х ортогонален всякому y ∈ Y. Если X - подмодуль в V, то

X^⊥ = {w ∈ W | f (x, w) = 0 для всех х ∈ X)

- подмодуль в W, наз. ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональное дополнение Y^⊥ к подмодулю Y в W. Отображение f наз. вырожденным справа (соответственно слева), если V^⊥ ≠ {0} (соответственно W^⊥ ≠ {0}). Подмодули V^⊥ и W^⊥ наз. соответственно левым и правым ядром Б. о. f. Если V^⊥ = {0} и W^⊥ = {0}, то f наз. невырожденным, а в противном случае - вырожденным. Отображение f наз. нулевым, если V^⊥ = W и W^⊥ = V.

Пусть V_i, i ∈, семейство левых A-модулей, W_i, i ∈ I, - семейство правых Р-модулей, f_i - Б. о. V_i × W_i в H, V - прямая сумма A-модулей V_i, а W - прямая сумма B-модулей W_i . Отображение f: V × W → H, определяемое правилом

f (∑_{i ∈ I} v_i, ∑_{i ∈ I} w_i) = ∑_{i ∈ I} f (v_i, w_i),

является Б. о. и наз. прямой суммой отображений f_i . Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль V_i ортогонален подмодулю W_i относительно f при i ≠ j.

Б. о. f невырождено тогда и только тогда, когда f_i невырождено для всех i ∈ I при этом

В случае А = В = Н Б. о. наз. билинейной формой.

Лит. : [1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

В. Л. Попов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.