НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА

Расстановка ударений: БИЛИНЕ`ЙНАЯ ФО`РМА

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА на произведении модулей V × W - билинейное отображение f: V × W → A, где V - левый унитарный А - модуль, W - правый унитарный А - модуль, А - кольцо с единицей, рассматриваемое также как (А, A) - бимодуль. Если V = W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что V наделен метрич. структурой с помощью f. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для Б. ф. Так, говорят о матрице Б. ф. относительно выбранных базисов в V и W, об ортогональности элементов и подмодулей относительно Б. ф., об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Напр., если А - поле и V = W - конечномерное векторное пространство над А с базисом e1, ..., en, то для векторов

v = v1 e1 + ... + vn en

и

w = w1 e1 + ... + wn en

значение формы

где aij = f (ei, ej). Иногда полином от переменных v1, ..., vn, w1, ..., wn отождествляют с f и называют билинейной формой на V. Если кольцо А коммутативно, то Б. ф. есть частный случай полу тора - линейной формы (с тождественным антиавтоморфизмом).

Пусть кольцо А коммутативно. Б. ф. f на А - модуле V наз. симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех v1, v2 ∈ V будет f(v1, v2) = f(v2, v1) (соответственно f(v1, v2) = - f(v2) и наз. знакопеременной, если f(v, v) = 0. Знакопеременная Б. ф. антисимметрична, обратное верно только, если для любого а ∈ А из 2а = 0 следует а = 0. Если V имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на V и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрич. или антисимметрич. формы на У симметрично.

Б. ф. f на V наз. изометричной Б. ф. g на W, если существует такой изоморфизм A-модулей φ : V → W, что

g(φ (v), φ (w)) = f(v, w)

для любых t ∈ V. Этот изоморфизм наз. изометрией форм, а если V = W и f = g - метрическим автоморфизмом модуля V (или автоморфизмом формы f). Метрич. автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы f), примеры таких групп - ортогональная группа, симплектич. группа.

Пусть А - тело, f - Б. ф. на V × W, пространства V/W и W/V конечномерны над А, тогда

dim V/W = dim W/V,

и это число наз. рангом f. Если V конечномерно, а f невырождена, то

dim V = dim W

и для каждого базиса v1, ..., vn в V существует дуальный относительно f базис w1, ..., wn в W, определяемый условиями f(vi, wj) = δijij - символы Кронекера). Пусть, кроме того, V = W, тогда подмодули V и W наз. соответственно правым и левым ядрами f; для симметрич. и антисимметрич. форм правое и левое ядра совпадают и наз. просто ядром формы.

Пусть f симметрич. или антисимметрич. Б. ф. на V. Элемент v ∈ V, для к-рого f(v, v) = 0, наз. изотропным; подмодуль M ⊂ V наз. изотропным, если М ∩ М ≠ {0}, и вполне изотропным, если M ⊂ M . Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры Б. ф. (см. Витта разложение, Витта теорема, Витта кольцо). О строении Б. ф. см. также Квадратичная форма.

Пусть А коммутативно и пусть НоmA (V, W) есть A-модуль всех А-линейных отображений V в W, а L2 (V, W, А) - A - модуль всех Б. ф. на V × W. Для всякой Б. ф. f на V × W и всякого v0 ∈ V формула

lf, v0 (w) = f (v0, w), w ∈ W,

определяет А-линейную форму на W. Соответственно, для w0 ∈ W формула

rf, w0 (v) = f (v, w0), v ∈ V,

определяет А-линейную форму на V. Отображение lf : v0 ↦ lf, v0 есть элемент из

НоmA (V, НоmA (V, А)).

Аналогично определяется отображение rf из

HomA (W, HomA (V, A)).

Отображения f↦ lf и f↦ rf осуществляют изоморфизмы А-модулей

L2 (V, W, А) → НоmA (V, НоmA (W, А))

и

L2 (V, W, А) → НоmA (W, НоmA (V, А)).

Б. ф. f наз. неособой слева (справа), если lf (rf)-изоморфизм; если f неособая и слева и справа, то она наз. не особой, в противном случае f наз. особой. Невырожденная Б. ф. может быть особой. Для свободных модулей V и W одинаковой конечной размерности Б. ф. f на V × W является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы f относительно любых базисов в V и W - обратимый элемент кольца А. Следующие изоморфизмы

и

задаваемые неособой Б. ф. f, определяются формулами

l(φ)(v, w) = f(φ (v), w)

и

r(ψ)(v, w) = f(v, ψ (w)).

Эндоморфизмы φ ∈ НоmA (V, V) и ψ ∈ НоmA (W, W) наз. сопряженными относительно f, если ψ = (r- 10 l) (φ).

Лит. : [1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969

В. Л. Попов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru