БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА

Расстановка ударений: БИЛИНЕ`ЙНАЯ ФО`РМА

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА на произведении модулей V × W - билинейное отображение f: V × W → A, где V - левый унитарный А - модуль, W - правый унитарный А - модуль, А - кольцо с единицей, рассматриваемое также как (А, A) - бимодуль. Если V = W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что V наделен метрич. структурой с помощью f. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для Б. ф. Так, говорят о матрице Б. ф. относительно выбранных базисов в V и W, об ортогональности элементов и подмодулей относительно Б. ф., об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Напр., если А - поле и V = W - конечномерное векторное пространство над А с базисом e₁, ..., e_n, то для векторов

v = v₁ e₁ + ... + v_n e_n

и

w = w₁ e₁ + ... + w_n e_n

значение формы

где a_ij = f (e_i, e_j). Иногда полином от переменных v₁, ..., v_n, w₁, ..., w_n отождествляют с f и называют билинейной формой на V. Если кольцо А коммутативно, то Б. ф. есть частный случай полу тора - линейной формы (с тождественным антиавтоморфизмом).

Пусть кольцо А коммутативно. Б. ф. f на А - модуле V наз. симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех v₁, v₂ ∈ V будет f(v₁, v₂) = f(v₂, v₁) (соответственно f(v₁, v₂) = - f(v₂) и наз. знакопеременной, если f(v, v) = 0. Знакопеременная Б. ф. антисимметрична, обратное верно только, если для любого а ∈ А из 2а = 0 следует а = 0. Если V имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на V и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрич. или антисимметрич. формы на У симметрично.

Б. ф. f на V наз. изометричной Б. ф. g на W, если существует такой изоморфизм A-модулей φ : V → W, что

g(φ (v), φ (w)) = f(v, w)

для любых t ∈ V. Этот изоморфизм наз. изометрией форм, а если V = W и f = g - метрическим автоморфизмом модуля V (или автоморфизмом формы f). Метрич. автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы f), примеры таких групп - ортогональная группа, симплектич. группа.

Пусть А - тело, f - Б. ф. на V × W, пространства V/W^⊥ и W/V^⊥ конечномерны над А, тогда

dim V/W^⊥ = dim W/V^⊥,

и это число наз. рангом f. Если V конечномерно, а f невырождена, то

dim V = dim W

и для каждого базиса v₁, ..., v_n в V существует дуальный относительно f базис w₁, ..., w_n в W, определяемый условиями f(v_i, w_j) = δ_ij (δ_ij - символы Кронекера). Пусть, кроме того, V = W, тогда подмодули V^⊥ и W^⊥ наз. соответственно правым и левым ядрами f; для симметрич. и антисимметрич. форм правое и левое ядра совпадают и наз. просто ядром формы.

Пусть f симметрич. или антисимметрич. Б. ф. на V. Элемент v ∈ V, для к-рого f(v, v) = 0, наз. изотропным; подмодуль M ⊂ V наз. изотропным, если М ∩ М^⊥ ≠ {0}, и вполне изотропным, если M ⊂ M^⊥ . Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры Б. ф. (см. Витта разложение, Витта теорема, Витта кольцо). О строении Б. ф. см. также Квадратичная форма.

Пусть А коммутативно и пусть Ноm_A (V, W) есть A-модуль всех А-линейных отображений V в W, а L² (V, W, А) - A - модуль всех Б. ф. на V × W. Для всякой Б. ф. f на V × W и всякого v₀ ∈ V формула

l_{f, v0} (w) = f (v₀, w), w ∈ W,

определяет А-линейную форму на W. Соответственно, для w₀ ∈ W формула

r_{f, w0} (v) = f (v, w₀), v ∈ V,

определяет А-линейную форму на V. Отображение l_f : v₀ ↦ l_{f, v0} есть элемент из

Ноm_A (V, Ноm_A (V, А)).

Аналогично определяется отображение r_f из

Hom_A (W, Hom_A (V, A)).

Отображения f↦ l_f и f↦ r_f осуществляют изоморфизмы А-модулей

L² (V, W, А) → Ноm_A (V, Ноm_A (W, А))

и

L² (V, W, А) → Ноm_A (W, Ноm_A (V, А)).

Б. ф. f наз. неособой слева (справа), если l_f (r_f)-изоморфизм; если f неособая и слева и справа, то она наз. не особой, в противном случае f наз. особой. Невырожденная Б. ф. может быть особой. Для свободных модулей V и W одинаковой конечной размерности Б. ф. f на V × W является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы f относительно любых базисов в V и W - обратимый элемент кольца А. Следующие изоморфизмы

и

задаваемые неособой Б. ф. f, определяются формулами

l(φ)(v, w) = f(φ (v), w)

и

r(ψ)(v, w) = f(v, ψ (w)).

Эндоморфизмы φ ∈ Ноm_A (V, V) и ψ ∈ Ноm_A (W, W) наз. сопряженными относительно f, если ψ = (r^{- 1}₀ l) (φ).

Лит. : [1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969

В. Л. Попов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.