БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ

Расстановка ударений: БИКОМПА`КТНОЕ РАСШИРЕ`НИЕ

БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ, (би)компактификация, - расширение топологического пространства, являющееся бикомпактным пространством. Б. р. существуют у любого топологич. пространства, у любого T₁ - пространства есть Б. р., являющиеся T₁ - пространствами, но наибольший интерес представляют хаусдорфовы Б. р., имеющиеся лишь у вполне регулярных пространств. Обычно под Б. р. понимают хаусдорфово Б. р., но иногда полезно рассматривать и произвольные Б. р. П. С. Александров [1] доказал, что всякое локально бикомпактное хаусдорфово пространство одной тонкой можно дополнить до бикомпакта (см. Александрова бикомпактное расширение). П. С. Урысон [2], доказав, что всякое нормальное пространство со счетной базой вкладывается в гильбертов кирпич, установил тем самым, что оно обладает Б. р. счетного веса [2]. Термин «Б. р. » впервые ввел А. Н. Тихонов [3], к-рый определил класс вполне регулярных пространств и доказал, что вполне регулярные пространства и только они обладают хаусдорфовыми Б. р., при этом вполне регулярное пространство веса τ имеет хаусдорфово Б. р. веса τ.

Два Б. р. b₁ X и b₂ X пространства X наз. эквивалентными (b₁ X = b₂ X), если существует гомеоморфизм f : b₁ Х → b₂ Х, тождественный на X. Часто Б. р. наз. само отображение вложения: i: X → bХ. При таком определении два расширения i₁ : X → b₁ Х и i₂ : X → b₂ X будут эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм f: b₁ Х → b₂ X, что f₀ i₁ = i₂ . Обычно не различают эквивалентные Б. р. и наз. Б. р. пространства А класс эквивалентных между собой Б. р. этого пространства. В таком случае можно говорить о множестве В (X) хаусдорфовых Б. р. данного (вполне регулярного) пространства X, поскольку мощность любого хаусдордова расширения пространства X не больше, чем 2^2|X|, а топологии на данном множестве Y также образуют множество мощности ≤ 2^2|Y| .

Б. р. b₂ Х следует за Б. p. b₁ X (b₁ X ≤ b₂ Х), если существует непрерывное отображение f: b₂ X → b₁ X, тождественное на X. Отношение следования превращает В(X) в частично упорядоченное множество. Э. Чех [4] и М. Стоун [5] доказали, что во множестве В (X) существует наибольший элемент β Х - Стоуна-Чеха бикомпактное расширение (или максимальное Б. р.).

Задача внутреннего описания всех хаусдорфовых Б. р. данного вполне регулярного пространства X решена [6] построением Б. р. произвольного близости пространства, тем самым показано, что всякой близости δ на X, совместимой с топологией, соответствует единственное Б. р. b_δ X, к-рое индуцирует на X исходную близость δ, т. е.

Максимальное Б. р. β X порождается следующей близостью δ :

Аδ¯ В ⇔ множества А и В функционально отделимы. Б. р. Александрова α X локально бикомпактного хаусдорфова пространства X порождается близостью δ : Аδ¯ В ⇔ множества А и В имеют непересекающиеся замыкания, по крайней мере одно из к-рых бикомпактно.

Соответствие δ → b_δ, является изоморфизмом между частично упорядоченным множеством близостей на X, совместимых с топологией, и множеством B(X). При этом соответствие δ → b_δ продолжается до функтора из категории пространств близости, совместимых с топологическими, и близостно непрерывных отображений в категорию бикомпактов и непрерывных отображений.

Значительная часть теории Б. р. посвящена методам построения Б. р. А. Н. Тихонов доказал, что во всяком вполне регулярном пространстве X веса τ существует такое семейство функций f_α : X → I_α мощности τ, что их диагональное произведение осуществляет вложение пространства X в куб I^τ = П_α I_α (см. Тихоновский куб), после чего Б. р. в X веса τ получается как замыкание fX в I^τ . Э. Чех посредством диагонального произведения всех непрерывных функций f_α : X → [0, 1] построил максимальное Б. р. пространства А. М. Стоун построил максимальное Б. р. с применением булевых алгебр и колец непрерывных функций.

Одним из основных методов в теории Б. р. является созданный П. С. Александровым метод центрированных систем открытых множеств [7], вначале использованный для построения максимального Б. р. и впоследствии широко применявшийся многими математиками. Так, было установлено, что всякое хаусдорфово расширение произвольного хаусдорфова пространства X можно реализовать как пространство центрированных систем открытых в X множеств. Метод центрированных систем был применен при построении изоморфизма между множеством близостей на вполне регулярном пространстве и множеством всех его хаусдорфовых Б. р. Этот метод был применен для построения хаусдорфова Б. р. пространств А по заданному на нем подчинению.

Г. Уолмен [9] построил максимальное Б. р. нормального пространства X как пространство максимальных центрированных систем замкнутых множеств этого пространства. Пространство ω X максимальных центрированных систем замкнутых множеств T₁ - пространства X является его бикомпактным T₁ - расширением и наз. Уолмена бикомпактным расширением. Это расширение, как и расширение Стоуна-Чеха, выделяется среди прочих сходством комбинаторного строения с расширяемым пространством, максимальностью (в определенном смысле), возможностью продолжения непрерывных отображений.

Метод центрированных систем замкнутых множеств позволяет дать обобщение расширения Уолмэна. Пусть во вполне регулярном пространстве X дана база замкнутых множеств , являющаяся кольцом множеств, т. е. вместе с любыми двумя элементами содержащая их пересечение и объединение. База наз. нормальной, если: 1) для любой точки х ∈ Х и всякого не содержащего ее элемента В ∈ существуют такие элементы базы В₁ и В₂, что В₁ ∪ В₂ = Х, x ∈ X\B₁, B ⊂ X\B₂ ; 2) для любых двух элементов В₁, В₂ ∈ существуют такие элементы В'₁, В'₂ ∈ , что X = B'₁ ∪ B'₂, B₁ ⊂ X\B'₁, В₂ ⊂ Х\В'₂ . Пространство максимальных центрированных систем нормальной базы - кольца со стандартным заданием на нем базы замкнутых множеств будет хаусдорфовым Б. р. пространства X, наз. расширением уолменовского типа; неизвестно (1977), всякое ли хаусдорфово Б. р. является расширением уолменовского типа.

Другие способы построения Б. р. : метод максимальных идеалов колец непрерывных функций (см. [11]); метод пополнения предкомпактных равномерных структур (см. [12] и Пополнение равномерного пространства); метод проекционных спектров (см. [10]); при этом было доказано, что верхним пределом максимального конечного спектра любого T₁ - пространства X является его уолменовское расширение ω X и этот предел совпадает с максимальным Б. р. β X тогда и только тогда, когда X - квазинормалъное пространство.

Важность теории Б. р. объясняется фундаментальным положением бикомпактных пространств в топологии и функциональном анализе. Возможность вложить топологич. пространство в бикомпакт позволяет описать многие свойства вполне регулярных пространств посредством (как правило, более простых) свойств бикомпактов. Так, нормальные пространства с первой аксиомой счетности гомеоморфны тогда и только тогда, когда гомеоморфны их максимальные Б. р. Это позволяет в принципе свести изучение нормальных пространств с первой аксиомой счетности к изучению бикомпактов. Довольно часто топологич. инварианты расширяемого пространства удается просто выразить в терминах расположения пространства в его Б. р. (см. Перистое пространство, Полнота, Нормально расположенное подпространство). Так, напр., для того чтобы пространство X было пространством счетного типа, т. е. пространством, в к-ром всякий бикомпакт содержится в бикомпакте счетного характера, необходимо и достаточно, чтобы для нек-рого (и, следовательно, для всякого) Б. р. bХ нарост bХ\Х был финально компактен. Пространство X счетного типа интересно также тем, что оно нормально прилегает к наросту всякого своего Б. р. bХ, т. е. тем, что любые два непересекающиеся замкнутые в наросте множества имеют непересекающиеся в bХ окрестности. С точки зрения расположенности в Б. р. двойственными к пространствам счетного типа являются финально компактные пространства. Пространство X финально компактно тогда и только тогда, когда нек-рое, а знаяит и всякое, его Б. р. bХ обладает следующим свойством: для всякого бикомпакта Ф ⊂ bX\X в наросте существует содержащий его бикомпакт F, имеющий счетный характер в bX.

Особенно важна роль Б. р. в теории размерности. Это, в частности, объясняется равенствами

dim β X = dim X, Ind β X = Ind X

для произвольного нормального пространства X и равенством

ind β X = ind X

для совершенно нормального пространства X. Одним из первых утверждений о размерностных свойствах Б. р. явилась теорема о существовании у всякого n-мерного нормального пространства со счетной базой хаусдорфова Б. р. того же (счетного) веса и той же размерности (см. [16]). Доказано [20], что среди нормальных пространств X со счетной базой периферически бикомпактное пространство и только оно имеет Б. р. bХ с нульмерным (в смысле размерности ind) наростом bХ\Х (см. Фрейденталя бикомпактное расширение). При этом среди таких Б. р. данного пространства существует наибольшее. Эти два результата явились отправной точкой для целого ряда исследований. Так, доказано [8], что для всякого вполне регулярного пространства X веса τ с dim β X ≤ n, в частности для всякого нормального пространства X веса τ с dim X ≤ n, существует Б. р. bХ веса τ и размерности dim bX ≤ n. С другой стороны, вполне регулярное пространство X периферически бикомпактно тогда и только тогда, когда X имеет Б. р. с нульмерно лежащим в нем наростом [8]. При этом нарост bХ\Х нульмерно расположен в расширении bХ, если существует такая база = {Г} бикомпакта bХ, что

(bX\X) ∩ Гp_bX Г = ∅

для всех Г ∈ .

Видную роль в теории Б. р. играют совершенно бикомпактные расширения (см. [15]). Всякое совершенное Б. р. bХ пространства X является монотонным образом максимального Б. р. β X (в частности, совершенно и само β Х), как и β Х, близко к X по комбинаторному строению, но, в отлиxие от β Х, не всегда dim X = dim bХ даже для метрич. пространства X. В то время, как β Х есть наибольшее совершенное Б. р., минимальное совершенное Б. р. существует лишь тогда, когда пространство X имеет Б. р. с пунктиформным наростом (в частности, когда пространство X периферически бикомпактно). При этом минимальное совершенное Б. р. единственно, обладает пунктиформным наростом и является наибольшим среди всех расширений с пунктиформным наростом.

Понятие совершенного Б. р. оказывается полезным при изучении размерности нароста. Если метрич. пространство X со счетной базой вкладывается в компакт bХ с наростом bХ\Х размерности ≤ n, то в X существует такая (открытая) база, что пересечение границ любых ее n + 1 элементов компактно [15]. Это условие не является достаточных для существования у пространства X Б. р. bХ с dim bX = dim X и dim (bХ\Х) ≤ n. Более того, если bХ совершенное Б. р. пространства X, dim bХ = n, dim Ф ≤ n - 1 для всякого бикомпакта Ф ⊂ bX\X, то dim vX ≥ n для всякого Б. p. vX с пунктиформным наростом [15]. Совершенное Б. р., как и максимальное, интересно возможностью продолжения отображений. Так, в частности, если пространства X и Y обладают минимальными совершенными расширениями μ Х и μ У, то всякое совершенное отображение f: X → Y продолжается в отображение f¯ : μ Х → μ Y.

Топологич. пространство X веса τ индуктивно нульмерно (т. е. ind Х = 0) тогда и только тогда (см. [16]), когда оно имеет индуктивно нульмерное Б. р. bХ веса т, так что пространство X веса τ с Ind Х = 0 имеет Б. р. того же веса и той же размерности. У вполне регулярного пространства X с Ind β Х ≤ n существует Б. р. bХ с nbХ = wХ и Ind bХ ≤ n, причем это верно и для трансфинитных значений Ind β Х. Поэтому у сильно паракомпактного метрич. пространства X существует такое Б. р. bХ, что wbX = wX, dim bX = ind bX = ind bX = dim X, в то же время существует такое пространство X, что ind bХ > ind X для всякого его Б. р. в X (см. [21]).

Имеется ряд утверждений о Б. р. бесконечномерных пространств. Так, максимальное Б. р. β Х нормального S - слабо бесконечномерного пространства X слабо бесконечномерно [16]. Далее, любое вполне регулярное пространство X веса τ, максимальное Б. р. к-рого слабо бесконечномерно (в частности, любое нормальное S - слабо бесконечномерное пространство X веса ≤ τ), обладает слабо бесконечномерным Б. р. веса ≤ τ. В этих утверждениях S - слабую бесконечномерность нельзя заменить на А - слабую бесконечномерность (см. Слабо бесконечномерное пространство): так, все Б. р. растущей суммы кубов Q^ω (подмножества гильбертова кирпича Q^∞, состоящего из точек, у к-рых лишь конечное число координат отлично от нуля) суть сильно бесконечномерные пространства [15].

Исследованы [17] вопросы, касающиеся размерности dim наростов Б. р. пространств близости и вполне регулярных пространств. Если пространство близости нормально прилегает к сР\Р, где сР (единственное) Б. р. пространства Р, то dim (сР\Р) равна наименьшему из тех чисел к, что в каждое продолжаемое окаймление можно вписать окаймление кратности ≤ k + 1 (см. Окаймление пространства в расширении). Пространство X счетного типа обладает Б. р. bХ с наростом размерности ≤ n тогда и только тогда, когда в X существует структура окаймлений кратности ≤ n + 1, обладающая базисным свойством. Кроме того, из существования у данного пространства X Б. р. с наростом размерности ≤ n вытекает существование Б. р. bХ веса wbX = wX с наростом размерности ≤ n.

Частично упорядоченное множество В (X) всех хаусдорфовых Б. р. пространства X является полной полурешеткой (относительно операции взятия верхней грани). Множество В (X) есть (полная) решетка тогда и только тогда, когда пространство X локально бикомпактно. Если пространства X и Y локально бикомпактны, то решетки В (X) и B(Y) изоморфны тогда и только тогда, когда гомеоморфны наросты β X\X и β Y\Y (см. [18]). Неизвестны условия, к-рым должно удовлетворять (совершенное) отображение f: X → Y, чтобы полурешетки В (X) и В (Y) были изоморфны. В то же время Б. р. совершенных неприводимых прообразов пространства X описываются θ - близостями на пространстве X и образуют полную полурешетку относительно естественно определяемого порядка [19]. Б. р. совершенных неприводимых прообразов пространства X связаны также с H-замкнутыми расширениями пространства X.

Лит. : [1] Александров П. С., Урысон П. С., Мемуар о компактных топологических пространствах, 3 изд., М., 1971; [2] Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1-2, М. - Л., 1951; [3] Тихонова Н., «Math. Ann. », 1929, Bd 102, S. 544-61; [4] Cech E., «Ann. Math. », 1937, v. 38, p. 823-44; [5] Stоne M., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1937, v. 41, p. 375-481; [6] Смиpнов Ю. М., «Матем. сб. », 1952, т. 31, с. 543-74; [7] Александров П., C., «Матем. сб. », 1939, т. 5 [47], с. 403-23; [8] его же, «Успехи матем. науки», 1960, т. 15, в. 2, с. 25-95; [9] Wаllman Н., «Аnn. Math. », 1941, v. 42 [2], p. 687-97; [10] Зайцев В. И., «Труды Моск. матем. об-ва», 1972, т. 27, с. 129-93; [11] Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., «Успехи матем. наук», 1946, т. 1, в. 2, с. 48-146; [12] Samuel P., «Trans Amer. Math. Soc. », 1948, v. 64, p. 100-32; [13] Архангельский А. В., «Матем. сб. », 1973, т. 91, № 1, с. 78-87; [14] Малыхин В., «Докл. АН СССР», 1972; т. 206, № 6, с. 1293-1296; [15] Александров П. С., «Успехи матем. наук», 1964 т. 19 : 6, с. 3-46; 1965, т. 20, в. 1, с. 253-4; [16] Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973; [17] Смирнов Ю. М., «Матем. сб. », 1966 т. 69, № 1, с. 141-60; 1966, т. 71 : 4, с. 454-82; [18] Мagili К. D., «Рrос. London Math. Soc. », 1968, Ser. 3, v. 18, pt 2, p. 231-44; [19] Федорчук В. В., «Матем. сб. », 1968, т. 76 : 4 с. 513-36; [20] Freudenthal Н., «Аnn. Math. », 1942, v. 43, № 2, р. 261-79; [21] Смирнов Ю. М., «Докл. АН СССР», 1957, т. 117, № 6, С. 939-42.

В. В. Федорчук.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.