БИКОМПАКТНО ОТКРЫТАЯ ТОПОЛОГИЯ

Расстановка ударений: БИКОМПА`КТНО ОТКРЫ`ТАЯ ТОПОЛО`ГИЯ

БИКОМПАКТНО ОТКРЫТАЯ ТОПОЛОГИЯ - одна из топологий на множестве отображений одного топологич. пространства в другое. Если F - некоторое множество отображений топологич. пространства X в топологич. пространство Y, то каждый конечный набор пар (X₁, U₁), ..., (X_n, U_n), где X_i - бикомпактное подмножество пространства X и U_i - открытое подмножество пространства Y, i = 1, ..., n, определяет подмножество тех отображений f ∈ F, для к-рых одновременно f(X_i) ⊂ U_i ; совокупность всех таких подмножеств объявляется базой Б. о. т. на множестве F. Важность Б. о. т. следует из того, что она входит существенным элементом в принадлежащую Л. С. Понтрягину теорию двойственности локально бикомпактных коммутативных групп и участвует в построении косых произведений. Если Y - хаусдорфово пространство, то и Б. о. т. также удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. Если все отображения f ∈ F непрерывны, а Y - вполне регулярное пространство, то и множество F, наделенное Б. о. т., вполне регулярно. В предположении, что все отображения f непрерывны, а пространство X локально бикомпактно, Б. о. т. на F является допустимой или совместно непрерывной, т. е. отображение φ : F × X → Y, определяемое формулой φ (f, x) = f(x), непрерывно и при этом Б. о. т. является наименьшей (самой слабой) из всех топологий на F, для которых отображение φ непрерывно. В этом преимущество Б. о. т. перед топологией поточечной сходимости, к-рая обычно слабее Б. о. т. и тогда она не является допустимой. Фундаментальное значение имеет и тот факт, что группа гомеоморфизмов бикомпакта X на себя, наделенная Б. о. т., является топологич. группой, непрерывно действующей (в смысле сказанного выше) на X. Группа гомеоморфизмов произвольного локально бикомпактного пространства на себя уже может не быть топологич. группой относительно Б. о. т. (переход к обратному элементу может оказаться разрывным отображением относительно этой топологии), но если локально бикомпактное пространство X локально связно, то снова Б. о. т. превращает группу всех гомеоморфизмов X на себя в топологич. группу, непрерывно действующую на X. Этот результат важен, ибо все многообразия локально бикомпактны и локально связны.

Лит. : [1] Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968; [2] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 2 изд., М., 1954; [3] Стинрод Н., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [4] Аrеns R., «Аmеr. J. Math. », 1946, v. 68, № 4, p. 593-610.

А. В. Архангельский, С. И. Сирота.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.