БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Расстановка ударений: БИГАРМОНИ`ЧЕСКАЯ ФУ`НКЦИЯ

БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - функция u(х) = u(x₁, ..., x_n) действительных переменных, определенная в области D евклидова пространства ℝⁿ, n ≥ 2, имеющая непрерывные частные производные до 4-го порядка включительно и удовлетворяющая в D уравнению

Δ² u ≡ Δ (Δ u) = 0,

где Δ - оператор Лапласа. Это уравнение наз. бигармоническим уравнением. Класс Б. ф. включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая Б. ф. есть аналитич. функция от координат х_i .

Наибольшее значение с точки зрения приложений имеют Б. ф. u(х₁, х₂) двух переменных. Такие Б. ф. представимы при помощи гармонич. функций u₁, u₂ или v₁, v₂ в виде

u (х₁, х₂) = х₁ u₁ (х₁, х₂) + u₂ (х₁, х₂)

или

u (х₁, х₂) = (r² - r²₀)v₁ (х₁, х₂) + v₂ (х₁, х₂),

где r² = х₁² + х₂², а r²₀ - постоянная. Основная краевая задача для Б. ф. состоит в следующем: найти Б. ф. в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области D¯ = D ∪ C и удовлетворяющую на границе С условиям

(*)

где ∂u/∂n - производная по нормали к С. a f₁ (s), f₂ (s) - заданные непрерывные функции дуги s на контуре С. Указанные выше представления Б. ф. позволяют получить решение задачи (*) в явном виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармония, функций (см. [1]).

Б. ф. двух переменных допускают также представление

при помощи двух аналитич. функций φ (z), χ (z) комплексного переменного z = x₁ + ix₂ . Это представление позволяет свести краевую задачу (*) для произвольной области D к системе краевых задач для аналитич. функций, метод решения к-рой подробно разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении различных плоских задач теории упругости, в к-рых основной Б. ф. является функция напряжений, или Эйри функция (см. [2], [3]).

Лит. : [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4; [2] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2; [3] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.