НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

БИВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Расстановка ударений: БИВЕ`КТОРНОЕ ПРОСТРА`НСТВО

БИВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО - центроаффинное пространство EN (где N = n(n - 1)/2), к-рое может быть отнесено каждой точке пространства аффинной связности Аn (в частности, риманова пространства Vn). Пусть в точке пространства Аn (или Vn) рассматриваются все тензоры, у к-рых коварнантная и контравариантная валентности четные; ковариантные и контравариантные индексы разбиваются на отдельные пары, для каждой из к-рых тензор кососимметричен. Тензоры, обладающие этими двумя свойствами, наз. битензорами. Если принять каждую кососимметрическую пару индексов за один собирательный индекс, то число новых индексов будет равно N = n(n - 1)/2. Простейшим битензором является бивектор

vα β = - vβ α → va, α, β = 1, ..., n; a = 1, ..., N.

Если в точке Р пространства Аn

то va' = Aa'b vb, и совокупность бивекторов из Аn (или из Vn) в данной точке определяет совокупность векторов с N компонентами, удовлетворяющими условиям

т. е. эта совокупность определяет центроаффинное пространство EN, наз. бивекторным пространством. В Vn Б. п. может быть метризовано при помощи метрич. тензора

после чего EN становится метрич. пространством

Б. п. имеют применение в римановой геометрии и общей теории относительности. В данной точке пространства Vn строится Б. п. RN, а тензору кривизны с компонентами Rα β γ δ, Rα βγ δ, Rα βγ δ сопоставляется тензор второй валентности с компонентами Rab, Rab, Rba, соответственно. Тогда задача изучения алгебраич. структуры тензора кривизны пространства Vn может быть сведена к изучению пучка квадратичных форм Rab - λ gab вторая из к-рых невырожденная (|gab | ≠ 0). Исследование элементарных делителей этой пары приводит к классификации пространств Vn . При n = 4 (N = 6) и сигнатуре (- - - + ) формы gab доказывается, что существует всего три различных типа пространств Эйнштейна.

Каждому вращению в Vn может быть отнесен бивектор; значит, в RN ему соответствует вектор, что оказывается удобным при исследовании бесконечно малых преобразований. Б. п. по существу совпадают с бипланарными пространствами [2].

Лит. : [1] Петров А. 3., Новые методы в общей теории относительности, М., 1966; [2] Норден А. П., «Уч. зап. Каз. ун-та», 1954, в. 114, кн. 8.

А. 3. Петров.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru