БИВЕКТОР

Расстановка ударений: БИВЕ`КТОР

БИВЕКТОР - упорядоченная пара u, v векторов аффинного пространства A, отложенных от общего начала. Б. полагается равным нулю, если составляющие его векторы u и v коллинеарны. Ненулевой Б. определяет в А несущую его двумерную плоскость. Два Б. наз. параллельными, если параллельны несущие их плоскости. Если пространство имеет конечную размерность n и (u¹, u², ..., uⁿ) - контравариантные координаты вектора u, (v¹, v², ..., vⁿ) - контравариантные координаты вектора v, вычисленные в нек-ром базисе e = {e₁, e₂, ..., e_n) пространства А, то величины

наз. координатами бивектора [u, v ] в базисе е. Эти координаты кососимметричны по своим индексам; среди них С_2n существенных координат. При переходе в A к другому базису координаты Б. ведут себя как координаты дважды контравариантного тензора. Два Б. наз. равными, если в к.-л. базисе равны их координаты (они будут равны и в любом другом базисе). Класс равных Б. наз. свободным бивектором. При наличии в А скалярного произведения на Б. распространяется ряд метрич. понятий векторной алгебры. Мерой Б. наз. площадь параллелограмма, образованного векторами u, v, - u, - v, начало каждого из к-рых помещено в конец предыдущего. Равные Б. имеют равную меру. Скалярным произведением двух Б. наз. число, равное произведению мер сомножителей на косинус угла между несущими их плоскостями. Скалярное произведение является билинейной формой от координат сомножителей, коэффициенты к-рой определяются только метрич. тензором пространства А.

Если размерность А равна 3, то Б. [u, v ] может быть отождествлен с вектором пространства А, наз. векторным произведением векторов u, v.

В тензорном исчислении Б. наз. любой контравариантный кососимметрический тензор валентности 2 [т. е. тензор типа (2, 0)]. Каждый такой тензор может быть представлен в виде суммы тензоров, к-рым соответствуют ненулевые Б. с различными несущими плоскостями. Они определяют листы бивектора. Ранг кососимметрической матрицы размера n × n, составленной из координат Б., есть четное число 2ρ, где ρ - число листов Б. В пространстве А над полем действительных чисел эта матрица подобна матрице

с блоками

См. также Внешнее произведение, Поливектор, Нлюккеровы координаты.

Лит. : [1] Схоутен Я.-А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.